Resolva o problema de valor inicial
3 y^3 e^3 x y-1+(2 y e^3 x y+3 x y^2 e^3 x y) y^prime=0, y(0)=1

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O que estamos lidando aqui é com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes. Vamos lá!
A equação que temos é:
3 y^3 e^3 x y - 1 + (2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y) y^prime = 0, y(0) = 1
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos isolar (2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y) y' = 1 - 3 y^3 e^3 x y (a derivada de y' = 1 - 3 y^3 e^3 x y2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y em relação a ):
Dividindo ambos os lados pelo coeficiente de :

Passo 3

Observamos que a equação pode ser considerada exata, ou seja, existe uma função partial Fpartial x = M(x, y) e partial Fpartial y = N(x, y) tal que:
M(x, y) = 3 y^3 e^3 x y - 1
Onde:
N(x, y) = 2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y
partial Mpartial y = 9 y^2 e^3 x y + 3 y^3 e^3 x y cdot 3x - 0 = 9 y^2 e^3 x y + 9 x y^3 e^3 x y
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de partial Npartial x = 6 y^2 e^3 x y + 6 x y^3 e^3 x y e partial Mpartial y = partial Npartial x :
Percebemos que:
Portanto, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar a função dF = M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 tal que:
F(x, y) = integral M(x, y) dx = integral (3 y^3 e^3 x y - 1) dx
Para encontrar integral 3 y^3 e^3 x y dx = y^2 e^3 x y , integramos integral (-1) dx = -x em relação a F(x, y) = y^2 e^3 x y - x + phi(y) :
Vamos resolver a integral:
Portanto:
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, derivamos partial Fpartial y = 2 y e^3 x y + y^2 e^3 x y cdot 3x - 0 + phi'(y) = 2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y + phi'(y) em relação a 2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y + phi'(y) = 2 y e^3 x y + 3 x y^2 e^3 x y e igualamos a :
Igualando a :
Podemos ver que , o que implica que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Assim, a solução geral da equação é dada por:
F(x, y) = y^2 e^3 x y - x = C
Para encontrar a solução específica que atende à condição inicial 1^2 e^0 - 0 = C implies 1 = C , substituímos y^2 e^3 x y - x = 1 e :
Portanto, a equação se torna:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y^2 e^3 x y - x = 1

Exercícios relacionados