Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse problema de valor inicial juntos. O enunciado nos dá uma equação diferencial e uma condição inicial. O que estamos lidando aqui é com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como equações exatas e fatores integrantes. Vamos lá!
A equação que temos é:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos isolar
(a derivada de
em relação a
):
Dividindo ambos os lados pelo coeficiente de
:
Passo 3
Observamos que a equação pode ser considerada exata, ou seja, existe uma função
tal que:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
e
:
Percebemos que:
Portanto, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar a função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Vamos resolver a integral:
Portanto:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Podemos ver que
, o que implica que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Assim, a solução geral da equação é dada por:
Para encontrar a solução específica que atende à condição inicial
, substituímos
e
:
Portanto, a equação se torna:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: