Resolva o problema da vibração na viga infinita:
ut t=c^2 ux x x x & se -infty0 u(x, 0)=f(x) & se -infty

Passo 1

O enunciado pede a solução da vibração de uma viga infinita descrita pela PDE de Euler–Bernoulli utt=c^2uxxxx em -infty0, com condições iniciais u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). Vamos usar transformada de Fourier em x para reduzir a PDE a uma EDO em t e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Fourier espacial definindo hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx. Isso transforma as derivadas em x em fatores de ik, logo
partial^2partial t^2hat u(k,t)=c^2(ik)^4hat u(k,t)=-c^2k^4hat u(k,t)

Passo 3

As condições iniciais viram
hat u(k,0)=hat f(k), partialpartial that u(k,0)=hat g(k),onde hat f(k) e hat g(k) são as transformadas de Fourier de f(x) e g(x). A EDO é
hat utt(k,t)+omega^2hat u(k,t)=0,com omega=k^2c,cuja solução geral é
hat u(k,t)=A(k)cos(omega t)+B(k)sin(omega t)

Passo 4

Para determinar A(k) e B(k) usamos as iniciais:
A(k)=hat u(k,0)=hat f(k), B(k)=1omegahat ut(k,0)=hat g(k)c k^2

Passo 5

Fazendo a transformada inversa de Fourier, obtemos
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyl[hat f(k)cos(c k^2 t)+hat g(k)c k^2sin(c k^2 t)r]e^ikx,dk

Resposta

u(x,t)=12piintegral-infty^inftyl[hat f(k)cos(c k^2 t)+hat g(k)c k^2sin(c k^2 t)r]e^ikx,dk, onde
hat f(k)=integral-infty^inftyf(x)e^-ikx,dx e hat g(k)=integral-infty^inftyg(x)e^-ikx,dx.

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