Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=ux x u(x, 0)= 1-|x|2 & se |x| <= 2, 0 & se |x|>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do calor ut = uxx em -infty < x < infty, t>0, com condição inicial triangular
u(x,0)=1-tfrac|x|2,&|x|<=2,0,&|x|>2
O conteúdo é solução da PDE pelo método de convolução com o núcleo gaussiano.

Passo 2

A solução geral para o problema de Cauchy da equação do calor na reta é dada por
u(x,t)=integral-infty^+inftyG(x-y,t),nu(y,0),dy,
onde
G(z,t)=1raiz4pi te^-z^2/(4t)
é o núcleo fundamental.

Passo 3

Substituindo a condição inicial e observando que nu(y,0)=0 fora de [-2,2], obtemos
u(x,t)=integral-2^2l(1-tfrac|y|2r),1raiz4pi te^-(x-y)^2/(4t),dy

Passo 4

Para explorar a simetria, separamos em y>=0 e y<0. Como |y| e o núcleo são pares em y,
nu(x,t)=1raiz4pi tintegral0^2l(1-tfracy2r)l[e^-(x-y)^2/(4t)+e^-(x+y)^2/(4t)r]dy
Esta é a forma convolucional final.

Passo 5

Esse resultado expressa a solução exata em termos de integrais de funções elementares. Em muitas aplicações basta deixar na forma de convolução com o núcleo gaussiano.

Resposta

nu(x,t)=1raiz4pi tintegral-2^2l(1-tfrac|y|2r)e^-(x-y)^2/(4t),dy
ou, de modo equivalente,
nu(x,t)=1raiz4pi tintegral0^2l(1-tfracy2r)l[e^-(x-y)^2/(4t)+e^-(x+y)^2/(4t)r]dy

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