(6 pontos) Sabe-se que a divergência de um campo
é nula em todos os pontos do espaço, exceto a origem, onde as componentes do campo não possuem derivadas parciais de
ordem. Além disso, sabe-se que o fluxo exterior de
através da esfera unitária de centro na origem vale 5. Qual o fluxo de
para dentro do elipsoide
? Justifique adequadamente sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação 1: A divergência de um campo
é nula em todos os pontos do espaço, exceto na origem, onde as componentes de não têm derivadas parciais de primeira ordem. - Informação 2: O fluxo exterior (isto é, o fluxo com a normal apontando para fora) de
através da esfera unitária centrada na origem vale . Vou chamar essa esfera de e seu fluxo de , logo . - Pedido: Calcular o fluxo de
para dentro do elipsoide . Ou seja, o enunciado pede o fluxo através da superfície do elipsoide com a normal apontando para o interior do elipsoide.
Observação útil (já do enunciado): o elipsoide está centrado na origem e tem semi-eixos
, logo contém a esfera unitária no seu interior (a esfera de raio
está totalmente contida no elipsoide).
Passo 2
Lembra do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss)? Vou escrever e explicar com calma: para um campo vetorial
suficientemente regular numa região
com fronteira suave
, vale
onde:
-
é a divergência de (uma função escalar): ela mede, localmente, quanto “fluxo” está saindo por unidade de volume; -
é o elemento de volume; -
é a superfície que forma a fronteira de ; -
é a normal unitária à superfície apontando para fora de ; -
é o fluxo de através de um elemento de superfície .
Interpretação prática: se
em
, então o fluxo total de
para fora de
é zero.
Passo 3
Como a divergência de
é nula em toda parte exceto na origem, a ideia é aplicar o Teorema da Divergência em uma região que não contenha a origem, e depois relacionar fluxos. Um procedimento padrão (e rigoroso) é o seguinte:
- Considere a região
entre a esfera unitária (raio ) e o elipsoide (o elipsoide dado). Ou seja, é o conjunto de pontos entre essas duas superfícies; por construção não contém a origem (a origem fica no interior do ). - A divergência
é zero em todo ponto de (pois por hipótese só falha na origem). Então, aplicando o Teorema da Divergência em obtemos
Pelo Teorema da Divergência isso é igual ao fluxo total de
para fora da fronteira
:
Passo 4
Agora analisamos a fronteira
. Ela tem duas componentes: a superfície externa que é o elipsoide
e a superfície interna que é a esfera
. É crucial cuidar da orientação das normais:
- Na integral de superfície do Teorema da Divergência,
é a normal apontando para fora da região . - Para o elipsoide
(a superfície externa de ), a normal para fora de é a normal para fora do elipsoide; denoto o fluxo para fora do elipsoide por . - Para a esfera
(a superfície interna), a normal para fora da região aponta para dentro da esfera (porque, visto de , a “direção externa” é para o interior da cavidade). Assim, a contribuição da esfera na integral aparece com sinal oposto ao fluxo exterior padrão da esfera. Se é o fluxo para fora da esfera (o que o enunciado deu como ), então a contribuição da esfera na integral sobre é .
Portanto a soma das contribuições das duas componentes é
Como a integral vale
(do passo anterior), segue
Passo 5
Usando a informação dada: o fluxo exterior da esfera é
. Pelo passo anterior deduzimos que o fluxo exterior do elipsoide é
O enunciado, porém, pede o fluxo “para dentro do elipsoide” — isto é, o fluxo usando a normal apontando para o interior do elipsoide. A normal interior é oposta à normal exterior, então o fluxo para dentro é o negativo do fluxo exterior. Assim o fluxo pedido é