(6 pontos) Sabe-se que a divergência de um campo \mathbf{F} é nula em todos os pontos do espaço, exceto a origem, onde as componentes do campo não possuem derivadas parciais de 1{ }^{a} ordem. Além disso, sabe-se que o fluxo exterior de \mathbf{F} através da esfera unitária de centro na origem vale 5. Qual o fluxo de \mathbf{F} para dentro do elipsoide \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{16}=1 ? Justifique adequadamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação 1: A divergência de um campo \mathbf{F} é nula em todos os pontos do espaço, exceto na origem, onde as componentes de \mathbf{F} não têm derivadas parciais de primeira ordem.
  • Informação 2: O fluxo exterior (isto é, o fluxo com a normal apontando para fora) de \mathbf{F} através da esfera unitária centrada na origem vale 5. Vou chamar essa esfera de S_{\text{esf}} e seu fluxo de \Phi_{\text{esf}}, logo \Phi_{\text{esf}}=5.
  • Pedido: Calcular o fluxo de \mathbf{F} para dentro do elipsoide \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{16}=1. Ou seja, o enunciado pede o fluxo através da superfície do elipsoide com a normal apontando para o interior do elipsoide.
Observação útil (já do enunciado): o elipsoide está centrado na origem e tem semi-eixos 2,3,4, logo contém a esfera unitária no seu interior (a esfera de raio 1 está totalmente contida no elipsoide).

Passo 2

Lembra do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss)? Vou escrever e explicar com calma: para um campo vetorial \mathbf{F} suficientemente regular numa região V com fronteira suave \partial V, vale
\iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde:
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F} (uma função escalar): ela mede, localmente, quanto “fluxo” está saindo por unidade de volume;
  • dV é o elemento de volume;
  • \partial V é a superfície que forma a fronteira de V;
  • \mathbf{n} é a normal unitária à superfície \partial V apontando para fora de V;
  • \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS é o fluxo de \mathbf{F} através de um elemento de superfície dS.
Interpretação prática: se \nabla\cdot\mathbf{F}=0 em V, então o fluxo total de \mathbf{F} para fora de \partial V é zero.

Passo 3

Como a divergência de \mathbf{F} é nula em toda parte exceto na origem, a ideia é aplicar o Teorema da Divergência em uma região que não contenha a origem, e depois relacionar fluxos. Um procedimento padrão (e rigoroso) é o seguinte:
  • Considere a região R entre a esfera unitária S_{\text{esf}} (raio 1) e o elipsoide S_{\text{el}} (o elipsoide dado). Ou seja, R é o conjunto de pontos entre essas duas superfícies; por construção R não contém a origem (a origem fica no interior do S_{\text{esf}}).
  • A divergência \nabla\cdot\mathbf{F} é zero em todo ponto de R (pois por hipótese só falha na origem). Então, aplicando o Teorema da Divergência em R obtemos
\iiint_{R} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 0.
Pelo Teorema da Divergência isso é igual ao fluxo total de \mathbf{F} para fora da fronteira \partial R:
0=\iint_{\partial R}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 4

Agora analisamos a fronteira \partial R. Ela tem duas componentes: a superfície externa que é o elipsoide S_{\text{el}} e a superfície interna que é a esfera S_{\text{esf}}. É crucial cuidar da orientação das normais:
  • Na integral de superfície do Teorema da Divergência, \mathbf{n} é a normal apontando para fora da região R.
  • Para o elipsoide S_{\text{el}} (a superfície externa de R), a normal para fora de R é a normal para fora do elipsoide; denoto o fluxo para fora do elipsoide por \Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}}.
  • Para a esfera S_{\text{esf}} (a superfície interna), a normal para fora da região R aponta para dentro da esfera (porque, visto de R, a “direção externa” é para o interior da cavidade). Assim, a contribuição da esfera na integral aparece com sinal oposto ao fluxo exterior padrão da esfera. Se \Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}} é o fluxo para fora da esfera (o que o enunciado deu como 5), então a contribuição da esfera na integral sobre \partial R é -\Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}}.
Portanto a soma das contribuições das duas componentes é
\iint_{\partial R}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}} - \Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}}.
Como a integral vale 0 (do passo anterior), segue
\Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}} - \Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}} = \Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}}.

Passo 5

Usando a informação dada: o fluxo exterior da esfera é \Phi_{\text{esf}}^{\text{(out)}}=5. Pelo passo anterior deduzimos que o fluxo exterior do elipsoide é
\Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}} = 5.
O enunciado, porém, pede o fluxo “para dentro do elipsoide” — isto é, o fluxo usando a normal apontando para o interior do elipsoide. A normal interior é oposta à normal exterior, então o fluxo para dentro é o negativo do fluxo exterior. Assim o fluxo pedido é
\Phi_{\text{el}}^{\text{(in)}} = -\Phi_{\text{el}}^{\text{(out)}} = -5.

Resposta

-5

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