Resolva o problema:
a) y^prime prime - y=-20de

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse problema de equações diferenciais. A questão é a seguinte:
a) y^prime prime - y = -20de
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que inclui uma função delta de Dirac deslocada para $ t = 3 $. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm termos como a função delta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Isso torna as equações diferenciais mais fáceis de resolver, pois as derivadas se transformam em multiplicações por $ s $.
A Transformada de Laplace de uma função $ y(t) $ é dada por:
t

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Ly'' - y = L-20de
Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é:
y''(t)
E a Transformada de Laplace de $ y(t) $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a Transformada de Laplace da função delta deslocada $ \delta(t - a) $ é $ e^{-as} $.

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação original:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - Y(s) = -20 e^-3s
Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Substituindo esses valores:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Então,
(s^2 - 1) Y(s) = s - 20 e^-3s

Passo 6

Vamos separar os termos para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Y(s) = ss^2 - 1 - 20 e^-3s cdot 1s^2 - 1
Sabemos que $ \frac{s}{s^2 - 1} $ é a Transformada de Laplace de $ \cosh(t) $, mas também podemos expressar em termos de funções exponenciais. Contudo, para manter simples, vamos usar tabelas de Transformadas de Laplace.

Passo 7

Utilizando tabelas de Transformadas de Laplace, temos:
L^-1ss^2 - 1 = cosh(t)
E para o segundo termo, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
L^-1e^-as F(s) = f(t - a) u(t - a)
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que ativa a partir de $ t = a $.

Passo 8

Aplicando isso ao segundo termo:
L^-1 20 e^-3ss^2 - 1 = 20 cosh(t - 3) u(t - 3)

Passo 9

Agora, juntando as duas partes, a solução no domínio do tempo é:
y(t) = cosh(t) - 20 cosh(t - 3) u(t - 3)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = cosh(t) - 20 cosh(t - 3) , u(t - 3)
onde $ u(t - 3) $ é a função degrau unitário que ativa a partir de $ t = 3 $.

Exercícios relacionados