Resolva o problema:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse problema de equações diferenciais. A questão é a seguinte:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem que inclui uma função delta de Dirac deslocada para $ t = 3 $. Para resolver isso, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm termos como a função delta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função no domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. Isso torna as equações diferenciais mais fáceis de resolver, pois as derivadas se transformam em multiplicações por $ s $.
A Transformada de Laplace de uma função $ y(t) $ é dada por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é:
E a Transformada de Laplace de $ y(t) $ é simplesmente $ Y(s) $. Além disso, a Transformada de Laplace da função delta deslocada $ \delta(t - a) $ é $ e^{-as} $.
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Sabemos que $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. Substituindo esses valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ Y(s) $:
Então,
Passo 6
Vamos separar os termos para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Sabemos que $ \frac{s}{s^2 - 1} $ é a Transformada de Laplace de $ \cosh(t) $, mas também podemos expressar em termos de funções exponenciais. Contudo, para manter simples, vamos usar tabelas de Transformadas de Laplace.
Passo 7
Utilizando tabelas de Transformadas de Laplace, temos:
E para o segundo termo, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções deslocadas no tempo:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que ativa a partir de $ t = a $.
Passo 8
Aplicando isso ao segundo termo:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes, a solução no domínio do tempo é:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
onde $ u(t - 3) $ é a função degrau unitário que ativa a partir de $ t = 3 $.