Dado que y_{1}(t)=\cos (t) é uma solução para y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(t) e y_{2}(t)=e^{2 t} / 3 é uma solução para y^{\prime \prime}-y^{\prime}+ y=e^{2 t}, use o princípio da superposição ( não precisa resolver as equações) para achar soluções para as seguintes equações diferenciais:
c) y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=4 \operatorname{sen}(t)+18 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado envolve a equação linear inhomogênea
y''-y'+y=4\sin(t)+18e^{2t},
sendo que já conhecemos duas soluções particulares:
  • y_{1}(t)=\cos(t) satisfaz y''-y'+y=\sin(t);
  • y_{2}(t)=\tfrac{1}{3}e^{2t} satisfaz y''-y'+y=e^{2t}.
    Usaremos o princípio da superposição para combinar essas soluções.

Passo 2

Pela linearidade do operador L[y]=y''-y'+y, temos
L[\,4y_{1}(t)\,]=4\,L[y_{1}(t)]=4\sin(t),
L[\,18y_{2}(t)\,]=18\,L[y_{2}(t)]=18e^{2t}.
Logo a soma y_{p}(t)=4y_{1}(t)+18y_{2}(t) satisfaz
L[y_{p}(t)] =4\sin(t)+18e^{2t}.

Passo 3

Substituindo y_{1} e y_{2} em y_{p} obtemos
y_{p}(t) =4\cos(t)+18\cdot\frac{e^{2t}}{3} =4\cos(t)+6e^{2t}.

Resposta

Uma solução particular é
y(t)=4\cos(t)+6e^{2t}.

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