Resolva os problemas abaixo:
a) Sabendo que
é solução de
, qual a solução geral da equação diferencial? Justifique sua resposta.
a) Sabendo que
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
e informa que
é uma solução. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em
.
Passo 2
Associamos à ODE a equação característica
Como
é solução, temos
como raiz; por O teorema das raízes complexas conjugadas,
também é raiz. Logo,
é fator do polinômio.
Passo 3
Fazemos a divisão de polinômios:
Assim,
Passo 4
Resolvendo a quadrática restante:
Portanto as quatro raízes são
Passo 5
A solução geral complexa seria
Convertendo para a forma real, usamos as identidades de Euler e agrupamos constantes, obtendo
onde
são constantes arbitrárias.