Resolva os problemas abaixo:
a) Sabendo que y=\operatorname{sen}(x) é solução de y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}+11 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+10 y=0, qual a solução geral da equação diferencial? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de quarta ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} + 2\,y''' + 11\,y'' + 2\,y' + 10\,y = 0
e informa que y=\sin(x) é uma solução. Para resolver, vamos usar o método da equação característica, que transforma a ODE num polinômio em r.

Passo 2

Associamos à ODE a equação característica
r^4 + 2r^3 + 11r^2 + 2r + 10 = 0.
Como y=\sin(x) é solução, temos r=i como raiz; por O teorema das raízes complexas conjugadas, r=-i também é raiz. Logo, (r^2+1) é fator do polinômio.

Passo 3

Fazemos a divisão de polinômios:
\frac{r^4 + 2r^3 + 11r^2 + 2r + 10}{r^2 + 1} = r^2 + 2r + 10.
Assim,
r^4 + 2r^3 + 11r^2 + 2r + 10 = (r^2 + 1)\,(r^2 + 2r + 10).

Passo 4

Resolvendo a quadrática restante:
r^2 + 2r + 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2} = -1 \pm 3i.
Portanto as quatro raízes são
r = i,\quad r = -\,i,\quad r = -1+3i,\quad r = -1-3i.

Passo 5

A solução geral complexa seria
y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix} + C_3 e^{(-1+3i)x} + C_4 e^{(-1-3i)x}.
Convertendo para a forma real, usamos as identidades de Euler e agrupamos constantes, obtendo
y(x) = A\cos x + B\sin x + e^{-x}\bigl(D\cos 3x + E\sin 3x\bigr),
onde A,B,D,E são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x \;+\; e^{-x}\bigl(C_{3}\cos3x + C_{4}\sin3x\bigr).

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