Resolva os problemas abaixo de EDP e faça o programa no Matlab.
\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial T}{\partial t}-\frac{F}{k}=\alpha \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} \\\ T(0, t)=20^{0} \\\ T(L, t)=10^{0} \\\ T(x, 0)=x\end{array}\right.
Onde o comprimento da barra é 0<x<L, L=5, e a difusividade térmica é \alpha=0,1, F=10, k=0,5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de calor unidimensional com geração interna
\frac{\partial T}{\partial t} \;=\;\alpha\,\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}} \;+\;\frac{F}{k}
em 0<x<L com L=5, \alpha=0,1, F=10, k=0,5, sujeita às condições de contorno
T(0,t)=20,\quad T(L,t)=10
e condição inicial
T(x,0)=x.
Para resolver usaremos o método de decomposição em regime permanente mais transiente e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro achamos a solução de regime permanente \Ts(x) resolvendo
\alpha\,\frac{d^{2}\Ts}{dx^{2}}+\frac{F}{k}=0,
com \Ts(0)=20 e \Ts(L)=10. Integrando duas vezes:
\frac{d^{2}\Ts}{dx^{2}}=-\frac{F}{\alpha\,k} \;\implies\; \Ts(x)=-\frac{F}{2\alpha k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2}.
Condições de contorno:
\Ts(0)=C_{2}=20, \quad \Ts(L)=-\frac{F}{2\alpha k}L^{2}+C_{1}L+20=10 \;\implies\; C_{1}=\frac{10-20+\tfrac{F\,L^{2}}{2\alpha k}}{L}.
Substituindo F=10, \alpha=0,1, k=0,5, L=5 obtém-se
-\frac{F}{2\alpha k}=-100, \qquad C_{1}=498,
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\Ts(x)=-100\,x^{2}+498\,x+20.

Passo 3

Definimos a parte transiente homogênea
\theta(x,t)=T(x,t)-\Ts(x).
Então \theta satisfaz
\frac{\partial \theta}{\partial t} =\alpha\frac{\partial^{2}\theta}{\partial x^{2}},
com condições de contorno homogêneas
\theta(0,t)=0,\quad \theta(L,t)=0
e condição inicial
\theta(x,0)=T(x,0)-\Ts(x)=x-\bigl(-100\,x^{2}+498\,x+20\bigr) =100\,x^{2}-497\,x-20.

Passo 4

Pelo método de separação, expressamos
\theta(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\, \exp\!\bigl(-\alpha(\tfrac{n\pi}{L})^{2}t\bigr),
onde
B_{n} =\frac{2}{L} \int_{0}^{L}\bigl(100\,x^{2}-497\,x-20\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,dx.
Essa integral pode ser feita por partes ou simbolicamente.

Passo 5

Juntando regime permanente e transiente, a solução geral é
T(x,t) =\Ts(x)+\theta(x,t) =-100\,x^{2}+498\,x+20 +\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{5}x\bigr)\, \exp\!\bigl(-0,1\,( \tfrac{n\pi}{5})^{2}t\bigr).

Passo 6

Abaixo um exemplo de programa em Matlab usando esquema explícito de diferenças finitas (FTCS):
% Parâmetros
L = 5; alpha = 0.1; F = 10; k = 0.5;
Nx = 51;              % número de pontos em x
dx = L/(Nx-1);
dt = 0.4*dx^2/alpha;  % escolhe dt para estabilidade (r = alpha*dt/dx^2 < 0.5)
Nt = 2000;            % número de passos de tempo

% Discretização espacial e condição inicial
x = linspace(0,L,Nx)';
T = x;                % T(x,0) = x
T(1) = 20; T(end) = 10;% aplica BC iniciais

% Loop de tempo FTCS com termo fonte F/k
r = alpha*dt/dx^2;
for n = 1:Nt
    Told = T;
    % pontos internos
    T(2:end-1) = Told(2:end-1) ...
        + r*(Told(3:end) - 2*Told(2:end-1) + Told(1:end-2)) ...
        + dt*(F/k);
    % reaplica contornos
    T(1)   = 20;
    T(end) = 10;
end

% Plot
plot(x,T,'-o')
xlabel('x'); ylabel('T(x,t_{final})')
title('Distribuição de Temperatura em t_{final}')

Resposta

A solução analítica é
T(x,t) =-100\,x^{2}+498\,x+20 +\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{5}x\Bigr) e^{-0,1\,(\tfrac{n\pi}{5})^{2}t},
com
B_{n} =\frac{2}{5} \int_{0}^{5}\bigl(100\,x^{2}-497\,x-20\bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{5}x\Bigr)\,dx.
O programa em Matlab acima resolve numericamente essa PDE pelo método FTCS.

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