Dado que y_{1}(t)=\cos (t) é uma solução para y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(t) e y_{2}(t)=e^{2 t} / 3 é uma solução para y^{\prime \prime}-y^{\prime}+ y=e^{2 t}, use o princípio da superposição ( não precisa resolver as equações) para achar soluções para as seguintes equações diferenciais:
a) y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=5 \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá duas soluções particulares de casos não homogêneos do mesmo operador linear
L[y]=y''-y'+y:
  • L[\cos t]=\operatorname{sen} t.
  • L\bigl(\tfrac{e^{2t}}{3}\bigr)=e^{2t}.
    Queremos usar a linearidade de L para obter uma solução particular de
y''-y'+y=5\,\operatorname{sen} t.

Passo 2

Como L[\cos t]=\operatorname{sen} t, pela propriedade L[c\,y]=c\,L[y] temos
L[5\cos t]=5\,L[\cos t]=5\,\operatorname{sen} t.
Portanto y_p(t)=5\cos t é uma solução particular da equação dada.

Resposta

Uma solução particular é
y_p(t)=5\cos t.

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