Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente tratando de equações que podemos resolver usando substituições para simplificar. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição de variáveis, que ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser expressos em termos de uma única razão, geralmente . Olhando para a nossa equação:
Percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de grau 2 (porque e têm todas as variáveis ao quadrado). Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:
Substituindo e na equação original:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a equação substituída:
Vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Vamos simplificar o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrações:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Igualando as integrais:
Passo 7
Agora, vamos substituir de volta por :
Simplificando:
-x^22y^2 - ln|yx| = ln|x| + C
Podemos reescrever ln|yx| como ln|y| - ln|x|, então temos:
-x^22y^2 - ln|y| + ln|x| = ln|x| + C
Simplificando ainda mais:
-x^22y^2 - ln|y| = C
Essa é nossa solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: