Resolva os problemas abaixo
y^prime=y xx^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
y^prime = y cdot xx^2 - y^2
Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente tratando de equações que podemos resolver usando substituições para simplificar. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição de variáveis, que ajuda a transformar a equação em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser expressos em termos de uma única razão, geralmente y/x. Olhando para a nossa equação:
y^prime = y cdot xx^2 - y^2
Percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de grau 2 (porque y cdot x e x^2 - y^2 têm todas as variáveis ao quadrado). Isso significa que podemos usar a substituição v = yx para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos fazer a substituição v = yx. Isso implica que y = v cdot x. Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Usando a regra do produto:
y^prime = v + x cdot v^prime
Substituindo y e y^prime na equação original:
v + x cdot v^prime = v cdot x cdot xx^2 - (v cdot x)^2 = v x^2x^2 - v^2 x^2 = v1 - v^2

Passo 4

Agora, podemos reescrever a equação substituída:
v + x cdot v^prime = v1 - v^2
Vamos isolar v^prime:
x cdot v^prime = v1 - v^2 - v
Simplificando o lado direito:
x cdot v^prime = v ( 11 - v^2 - 1 ) = v ( 1 - (1 - v^2)1 - v^2 ) = v^31 - v^2
Então, temos:
v^prime = v^3x (1 - v^2)

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
1 - v^2v^3 , dv = 1x , dx
Vamos simplificar o lado esquerdo:
1 - v^2v^3 = 1v^3 - v^2v^3 = v^-3 - v^-1
Então, a equação fica:
(v^-3 - v^-1) , dv = 1x , dx

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados:
integral (v^-3 - v^-1) , dv = integral 1x , dx
Calculando as integrações:
No lado esquerdo:
integral v^-3 , dv - integral v^-1 , dv = v^-2-2 - ln|v| + C = -12v^2 - ln|v| + C
No lado direito:
integral 1x , dx = ln|x| + C
Igualando as integrais:
-12v^2 - ln|v| = ln|x| + C

Passo 7

Agora, vamos substituir v de volta por yx:
-12(yx)^2 - ln|yx| = ln|x| + C
Simplificando:
-x^22y^2 - ln|yx| = ln|x| + C
Podemos reescrever ln|yx| como ln|y| - ln|x|, então temos:
-x^22y^2 - ln|y| + ln|x| = ln|x| + C
Simplificando ainda mais:
-x^22y^2 - ln|y| = C
Essa é nossa solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
-x^22y^2 - ln|y| = C
onde C é a constante de integração.

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