Resolva os problemas abaixo
y^prime=y(1-y^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'=y(1-y^2). O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem autônoma e separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integração por frações parciais.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy(1-y^2)=dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Observamos que
1y(1-y^2)=1y+y1-y^2

Passo 4

Então
integraldyy(1-y^2)=integrall(1y+y1-y^2r)dy=ln|y| -tfrac12ln|1-y^2| +C1

Passo 5

Isso leva a
ln|y|raiz1-y^2=t+C(absorvendo constantes)

Passo 6

Exponentiando temos
|y|raiz1-y^2=Ae^t, A=e^C>0

Passo 7

Isolando y, obtemos a solução geral não-constante
y(t)=pmAe^traiz1+A^2e^2t=pmtanh(t+ C)

Passo 8

Além disso, as soluções constantes (equilíbrios) são y(t)=0 e y(t)=pm1.

Resposta

A solução geral é
y(t)=tanh(t+C)
ou, em forma equivalente,
y(t)=pmAe^traiz1+A^2e^2t,
além das soluções constantes y(t)=0,,y(t)=1,,y(t)=-1.

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