O que podemos dizer sobre a sequência raiz[n]2^n+7^n ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício: queremos entender o que acontece com a sequência raiz[n]2^n+7^n. Aqui, estamos trabalhando com sequences e usando conceitos de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como as potências e as raízes funcionam quando a gente aumenta o valor de $ n $.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: $ 2^{n} + 7^{n} $. Observa que temos duas potências, uma de base 2 e outra de base 7, ambas elevadas ao mesmo expoente $ n $. Quando $ n $ cresce, qual dessas potências cresce mais rápido?
Bem, $ 7^{n} $ cresce muito mais rápido que $ 2^{n} $, porque 7 é um número maior que 2. Então, para valores grandes de $ n $, $ 7^{n} $ vai dominar $ 2^{n} $.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão considerando essa dominância:
2^n + 7^n approx 7^n para n grande
Então, nossa sequência fica aproximadamente:
raiz[n]2^n + 7^n approx raiz[n]7^n

Passo 4

Sabemos que a raiz n-ésima de $ 7^{n} $ é simplesmente 7, porque:
7^n

Passo 5

Portanto, para valores cada vez maiores de $ n $, a sequência $ \sqrt[n]{2^{n} + 7^{n}} $ se aproxima de 7.

Resposta

A sequência $ \left{\sqrt[n]{2{n}+7{n}}\right} $ converge para 7 conforme $ n $ cresce.

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