Resolva os problemas de condição inicial usando o método das série de potências para as equações:
x y^{\prime \prime}+x^{2} y-2 y=0 \quad y(1)=1, \quad \mathrm{y}^{\prime}(1)=-2 em x_{0}=1;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x\,y'' + x^2\,y - 2\,y = 0
com condições iniciais
y(1)=1,\quad y'(1)=-2
usando séries de potências em torno de x_0=1.
O conteúdo é “séries de potências para EDO” e precisaremos:
– Postular uma solução y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,(x-1)^n.
– Calcular y' e y''.
– Substituir na EDO e igualar coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.
– Usar y(1)=a_0=1 e y'(1)=a_1=-2 para iniciar a recorrência.

Passo 2

Postulamos
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,t^n,
com t=x-1.
Então
y'=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n\,t^{n-1}, \quad y''=\sum_{n=2}^\infty n(n-1)\,a_n\,t^{n-2}.

Passo 3

Escrevemos cada termo da EDO em potências de t:
  1. x\,y''=(1+t)\,y'' gera
y''=\sum_{m=0}^\infty (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,t^m, \quad t\,y''=\sum_{m=1}^\infty m(m+1)\,a_{m+1}\,t^m.
  1. x^2\,y=(1+2t+t^2)\sum_{n=0}^\infty a_n\,t^n gera termos em t^n,\,t^{n+1},\,t^{n+2}.
  2. -2\,y=-2\sum_{n=0}^\infty a_n\,t^n.

Passo 4

Agrupando o coeficiente de t^m em
x\,y''+x^2\,y-2y=0
obtém-se a relação de recorrência
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + m(m+1)\,a_{m+1} - a_m +2\,a_{m-1} + a_{m-2} =0,
válida para m\ge0, com a_{-1}=a_{-2}=0.

Passo 5

As condições iniciais dão
a_0=y(1)=1, \quad a_1=y'(1)=-2.

Passo 6

Aplicamos a recorrência para calcular os primeiros coeficientes:
Para m=0:
2\cdot1\,a_2 -a_0=0 \;\Longrightarrow\; a_2=\tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.
Para m=1:
3\cdot2\,a_3 +1\cdot2\,a_2 -a_1+2a_0=0 \;\Longrightarrow\; 6a_3 +2\cdot\tfrac12 -(-2)+2\cdot1=0 \;\Longrightarrow\; a_3=-\tfrac56.
Para m=2:
4\cdot3\,a_4 +2\cdot3\,a_3 -a_2+2a_1+a_0=0 \;\Longrightarrow\; 12a_4 +6\bigl(-\tfrac56\bigr)-\tfrac12+2(-2)+1=0 \;\Longrightarrow\; a_4=\tfrac{17}{24}.

Passo 7

A solução em série até quarta ordem é
y(x) = a_0 + a_1\,t + a_2\,t^2 + a_3\,t^3 + a_4\,t^4 + \cdots, \quad t=x-1,
ou seja
y(x) =1 \;-\;2\,(x-1) \;+\;\tfrac12\,(x-1)^2 \;-\;\tfrac56\,(x-1)^3 \;+\;\tfrac{17}{24}\,(x-1)^4 +\cdots,
com a relação de recorrência geral para todos os a_n.

Resposta

\boxed{ y(x) =1 -2\,(x-1) +\tfrac12\,(x-1)^2 -\tfrac56\,(x-1)^3 +\tfrac{17}{24}\,(x-1)^4 +\cdots, }
onde os coeficientes a_n satisfazem
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} + m(m+1)\,a_{m+1} - a_m +2\,a_{m-1} + a_{m-2} =0.

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