Resolva os problemas de condição inicial usando o método das série de potências para as equações:
em
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
com condições iniciais
usando séries de potências em torno de
.
O conteúdo é “séries de potências para EDO” e precisaremos:
– Postular uma solução .
– Calcular e
.
– Substituir na EDO e igualar coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.
– Usar e
para iniciar a recorrência.
O conteúdo é “séries de potências para EDO” e precisaremos:
– Postular uma solução
– Calcular
– Substituir na EDO e igualar coeficientes para encontrar uma relação de recorrência.
– Usar
Passo 2
Postulamos
com
.
Então
Então
Passo 3
Escrevemos cada termo da EDO em potências de
:
-
gera
-
gera termos em . -
.
Passo 4
Agrupando o coeficiente de
em
obtém-se a relação de recorrência
válida para
, com
.
Passo 5
As condições iniciais dão
Passo 6
Aplicamos a recorrência para calcular os primeiros coeficientes:
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 7
A solução em série até quarta ordem é
ou seja
com a relação de recorrência geral para todos os
.
Resposta
onde os coeficientes
satisfazem