Resolva os problemas de condição inicial usando o método das série de potências para as equações:
y^{\prime \prime}-2 x y=0 \quad y(0)=-2, y^{\prime}(0)=5 \quad em \quad x_{0}=0;

Passo 1

O problema pede para resolver a equação
y'' - 2xy = 0
com as condições iniciais y(0)=-2, y'(0)=5, usando o método de séries de potências centrado em x_0=0. Precisaremos supor uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
e determinar os coeficientes a_n de forma que a Série satisfaça a EDO e as condições iniciais.

Passo 2

Suponha
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.
Então
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2} \quad\text{e}\quad 2x\,y(x)=2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+1}.
Substituindo em y''-2xy=0 e reindexando:
\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)a_{m+2}x^m \;-\; 2\sum_{m=1}^{\infty}a_{m-1}x^m \;=\;0.

Passo 3

Igualando coeficientes de cada potência x^m:
  • Para m=0: (2)(1)a_2=0 implica a_2=0.
  • Para m\ge1: (m+2)(m+1)a_{m+2}-2\,a_{m-1}=0 \;\Longrightarrow\; a_{m+2}=\frac{2\,a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}.

Passo 4

Pelas condições iniciais,
a_0=y(0)=-2, \quad a_1=y'(0)=5, \quad a_2=0.
Usando a relação de recorrência a_{m+2}=\tfrac{2\,a_{m-1}}{(m+2)(m+1)}, obtemos:
\begin{aligned} a_3&=\frac{2\,a_0}{3\cdot2}=\frac{2\cdot(-2)}{6}=-\frac{2}{3},\\\ a_4&=\frac{2\,a_1}{4\cdot3}=\frac{2\cdot5}{12}=\frac{5}{6},\\\ a_5&=\frac{2\,a_2}{5\cdot4}=0,\\\ a_6&=\frac{2\,a_3}{6\cdot5}=\frac{2\cdot(-2/3)}{30}=-\frac{2}{45},\\\ a_7&=\frac{2\,a_4}{7\cdot6}=\frac{2\cdot(5/6)}{42}=\frac{5}{126},\;\dots \end{aligned}

Passo 5

Reescrevendo os termos não nulos, a solução em série é
y(x) =a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + a_5x^5 + \cdots =-2 +5x -\frac{2}{3}x^3 +\frac{5}{6}x^4 -\frac{2}{45}x^6 +\frac{5}{126}x^7 +\cdots.

Resposta

\boxed{y(x)=-2 \;+\;5x\;-\;\frac{2}{3}x^{3}\;+\;\frac{5}{6}x^{4}\;-\;\frac{2}{45}x^{6}\;+\;\frac{5}{126}x^{7}\;-\;\frac{1}{810}x^{9}+\cdots.}

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