Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
y^prime prime+4 y=de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem forçada por impulsos em t=π e t=2π, cuja forma é y’’+4y=δ_π(t)−δ_{2π}(t), com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=0. O conteúdo é EDO linear com forçamento impulsivo; vamos usar a solução homogênea e a função de Green (resposta ao impulso) para montar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução homogênea de y’’+4y=0. A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=±2i. Então
yh(t)=Acos(2t)+Bsin(2t)
Impondo y(0)=1 ⇒ A=1 e y’(t)=−2A\sin(2t)+2B\cos(2t) ⇒ y’(0)=2B=0 ⇒ B=0. Logo
yh(t)=cos(2t)

Passo 3

A resposta ao impulso (Green) da equação y’’+4y=δ(t) com condições nulas é
g(t)=12sin(2t)u(t)
Assim, um impulso de amplitude +1 em t=π contribui com g(t−π) e um de amplitude −1 em t=2π com −g(t−2π).

Passo 4

Montamos a solução completa somando homogênea e particular por impulsos:
y(t)=cos(2t)+12sinl(2(t-pi)r)u(t-pi)-12sinl(2(t-2pi)r)u(t-2pi)
Note que sin(2(t-pi))=sin(2t-2pi)=sin(2t) e sin(2(t-2pi))=sin(2t-4pi)=sin(2t), o que faz a correção voltar a zero após t=2π.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, separamos em três intervalos:
• 0≤t<π: y(t)=cos(2t), oscilação normal.
• π≤t<2π: y(t)=cos(2t)+½sin(2t), um deslocamento de fase/amplitude.
• t≥2π: y(t)=cos(2t) novamente, pois os dois impulsos se cancelam. O gráfico inicia em y(0)=1, oscila normalmente até t=π, salta na derivada em π e em 2π, retornando ao cos(2t).

Resposta

y(t)=cos(2t)+12sinl(2(t-pi)r)u(t-pi)-12sinl(2(t-2pi)r)u(t-2pi)

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