Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem forçada por impulsos em t=π e t=2π, cuja forma é y’’+4y=δ_π(t)−δ_{2π}(t), com condições iniciais y(0)=1 e y’(0)=0. O conteúdo é EDO linear com forçamento impulsivo; vamos usar a solução homogênea e a função de Green (resposta ao impulso) para montar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, encontramos a solução homogênea de y’’+4y=0. A equação característica é r^2+4=0, com raízes r=±2i. Então
Impondo y(0)=1 ⇒ A=1 e y’(t)=−2A\sin(2t)+2B\cos(2t) ⇒ y’(0)=2B=0 ⇒ B=0. Logo
Passo 3
A resposta ao impulso (Green) da equação y’’+4y=δ(t) com condições nulas é
Assim, um impulso de amplitude +1 em t=π contribui com g(t−π) e um de amplitude −1 em t=2π com −g(t−2π).
Passo 4
Montamos a solução completa somando homogênea e particular por impulsos:
Note que
e
, o que faz a correção voltar a zero após t=2π.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, separamos em três intervalos:
• 0≤t<π: y(t)=cos(2t), oscilação normal.
• π≤t<2π: y(t)=cos(2t)+½sin(2t), um deslocamento de fase/amplitude.
• t≥2π: y(t)=cos(2t) novamente, pois os dois impulsos se cancelam. O gráfico inicia em y(0)=1, oscila normalmente até t=π, salta na derivada em π e em 2π, retornando ao cos(2t).
• 0≤t<π: y(t)=cos(2t), oscilação normal.
• π≤t<2π: y(t)=cos(2t)+½sin(2t), um deslocamento de fase/amplitude.
• t≥2π: y(t)=cos(2t) novamente, pois os dois impulsos se cancelam. O gráfico inicia em y(0)=1, oscila normalmente até t=π, salta na derivada em π e em 2π, retornando ao cos(2t).