Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
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Passo 1
Primeiro, temos uma EDO forçada por um impulso em t=5:
O enunciado pede para resolver
O enunciado pede para resolver
Isso é um sistema linear estacionário cuja resposta a um impulso unitário envolve transformada de Laplace e, depois, deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Denotando
e usando
, obtemos
Com as condições iniciais nulas, isso vira
Passo 3
Agora precisamos do impulso não deslocado. Escrevemos
Na parte real da resposta, identificamos o decaimento
e corresponde à resposta ao impulso em t=0.
Passo 4
Finalmente, como a força é
, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
onde
Resposta
A solução é
$$y(t)=\frac{2}{\sqrt{15}}e^{-\tfrac{t-5}{4}}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\Bigr)u(t-5).
$$
O gráfico é zero até e, a partir de
, inicia uma oscilação amortecida com amplitude inicial
, frequência
e fator de decaimento
, decaindo exponencialmente ao longo do tempo.
O gráfico é zero até