Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
2 y^prime prime+y^prime+2 y=de;

Passo 1

Primeiro, temos uma EDO forçada por um impulso em t=5:
O enunciado pede para resolver
2y''+y'+2y=de
Isso é um sistema linear estacionário cuja resposta a um impulso unitário envolve transformada de Laplace e, depois, deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace nos dois lados. Denotando Y(s)=Ly(t) e usando Lde, obtemos
2[s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)]+[sY(s)-y(0)]+2Y(s)=e^-5s
Com as condições iniciais nulas, isso vira
(2s^2+s+2)Y(s)=e^-5sLongrightarrow Y(s)=e^-5s2s^2+s+2

Passo 3

Agora precisamos do impulso não deslocado. Escrevemos
12s^2+s+2=12cdot1s^2+tfrac12s+1
Na parte real da resposta, identificamos o decaimento alpha=tfrac14 e a frequência amortecida omegad=tfracraiz154. A transformada inversa desse termo é
h(t)=2raiz15e^-t/4sinl(raiz154tr), t>=0
e corresponde à resposta ao impulso em t=0.

Passo 4

Finalmente, como a força é de, usamos a propriedade de deslocamento no tempo:
y(t)=h(t-5),u(t-5),
onde u(t-5) é o degrau unitário deslocado. Assim,
y(t)=2raiz15e^-tfract-54sinl(raiz154(t-5)r),u(t-5)

Resposta

A solução é
$$y(t)=\frac{2}{\sqrt{15}}e^{-\tfrac{t-5}{4}}\sin\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}(t-5)\Bigr)u(t-5).
$$
O gráfico é zero até y(t)=2raiz15e^-tfract-54sinl(tfracraiz154(t-5)r)u(t-5) e, a partir de t=5, inicia uma oscilação amortecida com amplitude inicial t=5, frequência 2/raiz15 e fator de decaimento raiz15/4, decaindo exponencialmente ao longo do tempo.

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