O conteúdo é teoria de sistemas lineares com termo não-homogêneo e vamos usar o método da variação de constantes, o que exige (1) solução do sistema homogêneo, (2) matriz fundamental, (3) inversa e (4) construção de uma solução particular.]
Passo 2
Primeiro resolvemos o homogêneo
X' = A, X
Note que
A^2 = 1 & -21 & -1^2 = -I,
logo os autovalores são pm i e
e^At = Icos t + Asin t
Isso gera a família de soluções homogêneas Xh(t)=e^At C.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a matriz fundamental Phi(t)=e^At:
Phi(t) = Icos t + Asin t = cos t & 0[4pt]0 & cos t +sin t&-2sin t[4pt]sin t&-sin t =cos t+sin t & -2sin t[4pt]sin t & cos t-sin t ]
Passo 4
Como detPhi(t)=1, a inversa é
Phi(t)^-1 =d & -b[4pt]-c & a =cos t-sin t & 2sin t[4pt]-sin t & cos t+sin t,
once a=cos t+sin t, b=-2sin t, c=sin t, d=cos t-sin t.
]
Passo 5
Pela variação de constantes, buscamos
Xp(t) =Phi(t)integral Phi(t)^-1f(t),dt
Calculamos primeiro
Phi^-1(t),f(t) =cos t-sin t & 2sin t[4pt]-sin t & cos t+sin t tan t[4pt]1 =3sin t + cos t - sec t[4pt]2cos t + sin t - sec t ]
Passo 6
Integramos componente a componente, ignorando constantes de integração (elas entram em Xh):
Para u1'!=3sin t + cos t - sec t,