Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
X^prime=(ll1 & -2 1 & -1) X+binomtg t1

Passo 1

O enunciado dá o sistema não-homogêneo
X' = A,X + f(t)
com
A = 1 & -2[4pt]1 & -1, f(t)=tan t[4pt]1
O conteúdo é teoria de sistemas lineares com termo não-homogêneo e vamos usar o método da variação de constantes, o que exige (1) solução do sistema homogêneo, (2) matriz fundamental, (3) inversa e (4) construção de uma solução particular.]

Passo 2

Primeiro resolvemos o homogêneo
X' = A, X
Note que
A^2 = 1 & -21 & -1^2 = -I,
logo os autovalores são pm i e
e^At = Icos t + Asin t
Isso gera a família de soluções homogêneas Xh(t)=e^At C.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a matriz fundamental Phi(t)=e^At:
Phi(t) = Icos t + Asin t = cos t & 0[4pt]0 & cos t +sin t&-2sin t[4pt]sin t&-sin t =cos t+sin t & -2sin t[4pt]sin t & cos t-sin t ]

Passo 4

Como detPhi(t)=1, a inversa é
Phi(t)^-1 =d & -b[4pt]-c & a =cos t-sin t & 2sin t[4pt]-sin t & cos t+sin t,
once a=cos t+sin t, b=-2sin t, c=sin t, d=cos t-sin t.
]

Passo 5

Pela variação de constantes, buscamos
Xp(t) =Phi(t)integral Phi(t)^-1f(t),dt
Calculamos primeiro
Phi^-1(t),f(t) =cos t-sin t & 2sin t[4pt]-sin t & cos t+sin t tan t[4pt]1 =3sin t + cos t - sec t[4pt]2cos t + sin t - sec t ]

Passo 6

Integramos componente a componente, ignorando constantes de integração (elas entram em Xh):
Para u1'!=3sin t + cos t - sec t,
u1(t) = -3cos t + sin t - lnl|sec t + tan tr|
Para u2'!=2cos t + sin t - sec t,
u2(t) = 2sin t - cos t - lnl|sec t + tan tr|
Defina ;L(t)=lnl|sec t+tan tr|.

Passo 7

Agora
Xp(t) =Phi(t)u1(t)[4pt]u2(t)
Fazendo o produto e simplificando, chega-se a
Xp(t) = -3 +(-cos t+sin t),L(t)[4pt] -1 -cos t,L(t) ]

Passo 8

A solução geral é
X(t) =Xh(t)+Xp(t) =e^AtC1[3pt]C2 + -3 +(-cos t+sin t),L(t)[4pt] -1 -cos t,L(t) ,
once ;L(t)=lnl|sec t+tan tr| e C1,C2 são constantes arbitrárias.]

Resposta

X(t) =cos t+sin t & -2sin t[4pt]sin t & cos t-sin t C1[3pt]C2 + -3 +(-cos t+sin t)lnl|sec t+tan tr|[6pt] -1 -cos t,lnl|sec t+tan tr| ]

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