Exercício 14 (S.1.30)
Se X=(X1, X2, ldots, Xn) é um campo vetorial de classe C^1 em R^n e V é uma função real diferenciável em R^n tal que sumi=1^n partial Vpartial xi(x) Xi(x) <= 0 e V(x) >=|x|^2 para todo x in R^n, prove que toda solução de x^prime=X(x), x(0)=x0, está definida para todo t>0.

Passo 1

O enunciado define um campo vetorial ,X=(X1,dots,Xn) de classe C^1 em R^n e uma função diferenciável V:R^ntoR tais que, para todo xinR^n,
sumi=1^npartial Vpartial xi(x),Xi(x)<=0 e V(x)>=|x|^2
A meta é mostrar que a solução x(t) do sistema
x' = X(x), x(0)=x0,
permanece definida para todo t>0.

Passo 2

Considere a função composta tmapsto Vl(x(t)r). Pelo teorema da cadeia,
ddtVl(x(t)r) =sumi=1^npartial Vpartial xil(x(t)r),dxidt =sumi=1^npartial Vpartial xil(x(t)r),Xil(x(t)r)
Pela hipótese do enunciado, esse somatório é <=0. Logo,
ddtVl(x(t)r)<=0,
o que implica que Vl(x(t)r) é uma função não crescente de t. Em particular,
Vl(x(t)r)<= Vl(x(0)r)=V(x0) para todo t>=0

Passo 3

Como V(x)>=|x|^2, temos
|x(t)|^2<= Vl(x(t)r)<= V(x0) Longrightarrow |x(t)|<= raizV(x0)
para todo t>=0. Assim a trajetória x(t) permanece confinado no bola fechada
,xinR^n:|x|<= raizV(x0),
que é um conjunto compacto de R^n.

Passo 4

O campo vetorial X é de classe C^1, logo é localmente lipschitziano e admite extensões locais das soluções até que a trajetória saia de um compacto. Mas acabamos de ver que x(t) nunca sai do compacto |x|<=raizV(x0). Pelo teorema de existência e extensão de soluções de ODEs, isso impede que a solução exploda em tempo finito. Concluímos que a solução maximal definida para t>=0 pode ser estendida indefinidamente, permanecendo em R^n.

Resposta

A solução x(t) está definida para todo t>0.

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