Exercício 14 (S.1.30)
Se
é um campo vetorial de classe
em
e
é uma função real diferenciável em
tal que
e
para todo
, prove que toda solução de
, está definida para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado define um campo vetorial
de classe
em
e uma função diferenciável
tais que, para todo
,
A meta é mostrar que a solução
do sistema
permanece definida para todo
.
Passo 2
Considere a função composta
. Pelo teorema da cadeia,
Pela hipótese do enunciado, esse somatório é
. Logo,
o que implica que
é uma função não crescente de
. Em particular,
Passo 3
Como
, temos
para todo
. Assim a trajetória
permanece confinado no bola fechada
que é um conjunto compacto de
.
Passo 4
O campo vetorial
é de classe
, logo é localmente lipschitziano e admite extensões locais das soluções até que a trajetória saia de um compacto. Mas acabamos de ver que
nunca sai do compacto
. Pelo teorema de existência e extensão de soluções de ODEs, isso impede que a solução exploda em tempo finito. Concluímos que a solução maximal definida para
pode ser estendida indefinidamente, permanecendo em
.
Resposta
A solução
está definida para todo
.