Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo: z=x y; restrição: x+y=6.

Passo 1

O problema é uma otimização condicionada em que queremos extremizar a função objetivo z = x y sujeita à restrição x + y = 6. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e condições de segunda ordem via Hessiano—vamos montar a lagrangiana, achar o ponto crítico e depois verificar se é máximo ou mínimo.

Passo 2

Construímos a lagrangiana L(x,y,lambda) para incorporar a restrição g(x,y)=x+y-6=0:
L(x,y,lambda)=x y - lambda,(x+y-6)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
partial Lpartial x=y-lambda=0, partial Lpartial y=x-lambda=0, partial Lpartial lambda=x+y-6=0

Passo 3

Das duas primeiras equações temos y=lambda e x=lambda, logo x=y. Substituindo na restrição x+y=6
2x=6Rightarrow x=3, y=3
Então o único ponto crítico é (x,y)=(3,3).

Passo 4

Para ver se é máximo ou mínimo, calculamos o Hessiano da lagrangiana em relação a x,y:
H= partial^2Lpartial x^2 & partial^2Lpartial xpartial y partial^2Lpartial ypartial x & partial^2Lpartial y^2 =0 & 11 & 0
A direção tangente à restrição satisfaz nabla g=(1,1) e vetores v=(v1,v2) com (1,1)cdot(v1,v2)=0, por exemplo v=(1,-1). Então avaliamos
v^T H v=(1,-1)0 & 11 & 01-1=(1,-1)-11=-2<0
Como isso é negativo, temos um máximo restrito.

Passo 5

Calculamos o valor da função no ponto (3,3):
z=3cdot3=9

Resposta

O ponto crítico é (x,y)=(3,3), onde ocorre um máximo restrito, e o valor máximo é z=9.

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