Resolva os problemas de otimização condicionada abaixo, verificando as condições de segunda ordem através do Hessiano.
função objetivo: ; restrição: .
Passo 1
O problema é uma otimização condicionada em que queremos extremizar a função objetivo sujeita à restrição . O conteúdo é multiplicadores de Lagrange e condições de segunda ordem via Hessiano—vamos montar a lagrangiana, achar o ponto crítico e depois verificar se é máximo ou mínimo.
Passo 2
Construímos a lagrangiana para incorporar a restrição :
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero (condições de primeira ordem):
Passo 3
Das duas primeiras equações temos y=lambda e x=lambda, logo x=y. Substituindo na restrição x+y=6 dá
2x=6Rightarrow x=3, y=3
Então o único ponto crítico é (x,y)=(3,3).
Passo 4
Para ver se é máximo ou mínimo, calculamos o Hessiano da lagrangiana em relação a x,y:
H= partial^2Lpartial x^2 & partial^2Lpartial xpartial y partial^2Lpartial ypartial x & partial^2Lpartial y^2 =0 & 11 & 0
A direção tangente à restrição satisfaz nabla g=(1,1) e vetores v=(v1,v2) com (1,1)cdot(v1,v2)=0, por exemplo v=(1,-1). Então avaliamos
v^T H v=(1,-1)0 & 11 & 01-1=(1,-1)-11=-2<0
Como isso é negativo, temos um máximo restrito.
Passo 5
Calculamos o valor da função no ponto (3,3):
z=3cdot3=9
Resposta
O ponto crítico é (x,y)=(3,3), onde ocorre um máximo restrito, e o valor máximo é z=9.