Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
Passo 1
A função do enunciado é
. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos usando o gradiente (primeira ordem) e depois verificar a natureza desses pontos com o Hessiano (segunda ordem).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais usando regras básicas: a derivada de
em relação a
é
e de
em relação a
é
. Assim,
Passo 3
Para achar o ponto crítico, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
Passo 4
Logo, o único ponto estacionário é
.
Agora calculamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
Agora calculamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
Passo 5
Avaliando no ponto
temos
Passo 6
Os autovalores são
e
. Como há um autovalor nulo, o teste de segunda ordem fica inconclusivo. Entretanto, pelo termo cúbico em
, nota-se que há inflexão nessa direção, caracterizando um ponto de sela.
Portanto, o ponto estacionário é e, pela análise do Hessiano, trata-se de um ponto de sela.
Portanto, o ponto estacionário é
Resposta
Ponto estacionário em (0,0); Hessiano avaliado é
, autovalores 4 e 0, teste inconclusivo de extremum e conclusão de ponto de sela.