Encontre o ponto estacionário da função abaixo. Verifique a condição de segunda ordem através do Hessiano.
y=e^2 x-2 x+3 z^3+3

Passo 1

A função do enunciado é f(x,z)=e^2x-2x+3z^3+3. O conteúdo aqui é encontrar pontos críticos usando o gradiente (primeira ordem) e depois verificar a natureza desses pontos com o Hessiano (segunda ordem).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais usando regras básicas: a derivada de e^2x em relação a x é 2e^2x e de 3z^3 em relação a z é 9z^2. Assim,
partial fpartial x=2e^2x-2,
partial fpartial z=9z^2

Passo 3

Para achar o ponto crítico, igualamos as derivadas a zero e resolvemos o sistema:
2e^2x-2=0Rightarrow e^2x=1Rightarrow x=0,
9z^2=0Rightarrow z=0

Passo 4

Logo, o único ponto estacionário é (x,z)=(0,0).
Agora calculamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
partial^2 fpartial x^2=4e^2x,partial^2 fpartial xpartial z=0,partial^2 fpartial z^2=18z

Passo 5

Avaliando no ponto (0,0) temos
H(0,0)=4e^0&00&18cdot0=4&00&0

Passo 6

Os autovalores são 4>0 e 0. Como há um autovalor nulo, o teste de segunda ordem fica inconclusivo. Entretanto, pelo termo cúbico em z, nota-se que há inflexão nessa direção, caracterizando um ponto de sela.
Portanto, o ponto estacionário é (0,0) e, pela análise do Hessiano, trata-se de um ponto de sela.

Resposta

Ponto estacionário em (0,0); Hessiano avaliado é 4&00&0, autovalores 4 e 0, teste inconclusivo de extremum e conclusão de ponto de sela.

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