O objetivo é encontrar y(t)\] para todos \(t\ge0 que satisfaça a equação e as condições iniciais.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem resolver ainda).
Motivo da escolha: o termo g(t) é definido por partes (função “peça a peça”). Um método prático e sistemático para esse tipo de problema é usar a Transformada de Laplace com o uso da função degrau/unit step u(t-a) (também chamada de função de Heaviside). A transformada de Laplace transforma a EDO em uma equação algébrica em s, que é fácil de manipular; depois faz-se a transformada inversa.
Lembrete das fórmulas que usarei:
Transformada da derivada, com condições iniciais nulas:\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)\quad\text{se }y(0)=y'(0)=0,onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Teorema do deslocamento (time-shift): se H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\} então\mathcal{L}\{h(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}H(s).
Transformada básica: \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{s^{2}} e \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Passo 3
Escrever g(t) usando funçõess degrau u(t-a).
Queremos uma expressão única usando u(t-5) e u(t-10). Note que a rampa (t-5)/5 ativa em t\ge5 e cresce até atingir 1 em t=10; para t\ge10 o valor deve permanecer 1. Uma forma correta é