O que se pede: encontrar a solução y(t) para t\ge0. Como g é diferente em [0,1) e em [1,\infty), a solução será obtida por partes, impondo continuidade de y e y' em t=1.]
Passo 2
Começo encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y_h''-y_h=0.
Para isso uso a equação característica. Assumo y_h=e^{rt}, então
r^2-1=0.
As raízes são r=1 e r=-1. Logo a solução homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar.
Passo 3
Agora resolvo no intervalo 0\le t<1, onde g(t)=t. Busco uma solução particular y_p para
y''-y=t.
Como o lado direito é um polinômio de grau 1, tento uma ansatz polinomial de grau 1:
y_p(t)=a t + b.
Calculo y_p''(t)=0. Substituindo na equação:
0-(a t + b)=t \quad\Rightarrow\quad -(a t + b)=t.
Comparando coeficientes em t e termo constante:
-a=1\quad\Rightarrow\quad a=-1,
-b=0\quad\Rightarrow\quad b=0.
Portanto uma particular é
y_p(t)=-t.
Passo 4
A solução geral em 0\le t<1 é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}-t\qquad(0\le t<1).
Preciso usar as condições iniciais em t=0. Primeiro:
Agora resolvo para t\ge1, onde g(t)=1. Procuro uma particular constante y_p=A. Então y_p''=0 e substituindo:
0-A=1\quad\Rightarrow\quad A=-1.
A solução geral em t\ge1 é
y(t)=D_1 e^{t}+D_2 e^{-t}-1\qquad(t\ge1),
com constantes D_1,D_2 a determinar impondo continuidade de y e y' em t=1.
Passo 7
Justificativa da continuidade: a equação dá y''=y+g(t). Como g tem apenas descontinuidade de salto em t=1 (é limitada), y'' é integrável ao redor de 1, logo y' é contínua e, por integração adicional, y também é contínua. Portanto impõe-se:
y(1^+)=y(1^-),\qquad y'(1^+)=y'(1^-).
Passo 8
Escrevo as condições em termos de D_1,D_2. Em t=1:
y(1^+)=D_1 e + D_2 e^{-1}-1,
y'(t)=D_1 e^{t}-D_2 e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y'(1^+)=D_1 e - D_2 e^{-1}.
Igualando aos valores da esquerda:
D_1 e + D_2 e^{-1}-1 = e-2e^{-1}-1 \quad\Rightarrow\quad D_1 e + D_2 e^{-1} = e-2e^{-1},
D_1 e - D_2 e^{-1} = e+2e^{-1}-1.
Agora resolvo esse sistema linear para D_1,D_2. Somando as duas equações:
2D_1 e = (e-2e^{-1}) + (e+2e^{-1}-1) = 2e -1,
D_1 = \frac{2e-1}{2e} = 1 - \frac{1}{2e}.
Subtraindo a segunda da primeira (ou somando com sinal trocado):