Resolva os problemas a seguir:
(20 pontos). Expresse o limite: \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{x_{i}=1}^{n}\left[\sqrt{25-\left(x_{i}\right)^{2}}\right] \Delta x como uma integral no intervalo [-5,5] e compute seu valor interpretando-a em termos de áreas.

Passo 1

O enunciado dá o limite
\lim_{n\to\infty}\sum_{x_i=1}^{n}\left[\sqrt{25-(x_i)^2}\right]\Delta x
e pede duas coisas: (1) expressar esse limite como uma integral no intervalo [-5,5] e (2) calcular o valor dessa integral interpretando-a em termos de áreas. Informações relevantes fornecidas:
  • Há uma soma do tipo \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x com \Delta x presente (soma de Riemann).
  • O intervalo alvo é [-5,5].
  • A função dentro da soma é f(x_i)=\sqrt{25-(x_i)^2}.
  • O limite quando n\to\infty indica a passagem de uma soma de Riemann para uma integral definida.

Passo 2

Entendendo a soma de Riemann e como ela vira integral (aulas rápidas e práticas).
  • Uma soma de Riemann para uma função f no intervalo [a,b] tem a forma
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x,
onde \Delta x=\dfrac{b-a}{n} é a largura de cada subintervalo e x_i é um ponto qualquer (por exemplo, ponto direito, esquerdo ou médio) no i-ésimo subintervalo.
  • O teorema fundamental aqui é: se f é integrável em [a,b], então
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x=\int_a^b f(x)\,dx.
  • Explicando cada símbolo: \Delta x é a largura de cada fatia em que dividimos o intervalo; x_i é a abscissa escolhida dentro da i-ésima fatia; f(x_i)\Delta x é a área aproximada da i-ésima retângulo; somando e fazendo n\to\infty obtemos a área exata sob f.

Passo 3

Aplicando ao problema dado para escrever a integral.
  • O enunciado diz que o intervalo é [-5,5], logo a=-5 e b=5.
  • Portanto
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{5-(-5)}{n}=\frac{10}{n}.
  • Escolhendo x_i como, por exemplo, os pontos direitos dos subintervalos, temos x_i=-5+i\Delta x, mas a escolha específica não altera o limite se f for integrável.
  • Pelo argumento da soma de Riemann, a soma dada converge para a integral
\int_{-5}^{5} \sqrt{25-x^2}\,dx.

Passo 4

Interpretando a integral geometricamente (a maneira mais direta pedida).
  • A equação \displaystyle y=\sqrt{25-x^2} representa a metade superior (ramo positivo) do círculo de centro na origem e raio 5, porque ao elevar ao quadrado obtemos
y^2=25-x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2=25.
  • Então o gráfico de y=\sqrt{25-x^2} para x\in[-5,5] é exatamente a semicircunferência superior de raio r=5.
  • A integral \displaystyle \int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx calcula a área sob essa curva entre -5 e 5, ou seja, a área da semicircunferência de raio 5.

Passo 5

Calcular a área da semicircunferência.
  • A área de um círculo de raio r é \pi r^2.
  • A área da semicircunferência (metade do círculo) é \dfrac{1}{2}\pi r^2.
  • Aqui r=5, logo a área (o valor da integral) é
\frac{1}{2}\pi\cdot 5^2=\frac{1}{2}\pi\cdot 25=\frac{25\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{25\pi}{2}

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