Resolva os problemas a seguir:
(20 pontos). Expresse o limite:
como uma integral no intervalo
e compute seu valor interpretando-a em termos de áreas.
(20 pontos). Expresse o limite:
Passo 1
O enunciado dá o limite
e pede duas coisas: (1) expressar esse limite como uma integral no intervalo
e (2) calcular o valor dessa integral interpretando-a em termos de áreas. Informações relevantes fornecidas:
- Há uma soma do tipo
com presente (soma de Riemann). - O intervalo alvo é
. - A função dentro da soma é
. - O limite quando
indica a passagem de uma soma de Riemann para uma integral definida.
Passo 2
Entendendo a soma de Riemann e como ela vira integral (aulas rápidas e práticas).
- Uma soma de Riemann para uma função
no intervalo tem a forma
onde
é a largura de cada subintervalo e
é um ponto qualquer (por exemplo, ponto direito, esquerdo ou médio) no
-ésimo subintervalo.
- O teorema fundamental aqui é: se
é integrável em , então
- Explicando cada símbolo:
é a largura de cada fatia em que dividimos o intervalo; é a abscissa escolhida dentro da i-ésima fatia; é a área aproximada da i-ésima retângulo; somando e fazendo obtemos a área exata sob .
Passo 3
Aplicando ao problema dado para escrever a integral.
- O enunciado diz que o intervalo é
, logo e . - Portanto
- Escolhendo
como, por exemplo, os pontos direitos dos subintervalos, temos , mas a escolha específica não altera o limite se for integrável. - Pelo argumento da soma de Riemann, a soma dada converge para a integral
Passo 4
Interpretando a integral geometricamente (a maneira mais direta pedida).
- A equação
representa a metade superior (ramo positivo) do círculo de centro na origem e raio , porque ao elevar ao quadrado obtemos
- Então o gráfico de
para é exatamente a semicircunferência superior de raio . - A integral
calcula a área sob essa curva entre e , ou seja, a área da semicircunferência de raio .
Passo 5
Calcular a área da semicircunferência.
- A área de um círculo de raio
é . - A área da semicircunferência (metade do círculo) é
. - Aqui
, logo a área (o valor da integral) é