O integrando é \tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{4}x.
Os limites de integração são x=0 e x=\frac{\pi}{4}.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Como o integrando tem um fator \operatorname{sec}^{4}x, podemos separar \operatorname{sec}^{4}x como \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x e usar a substituição
u=\tan x,
pois então
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Vou explicar: a substituição u=\tan x é conveniente quando aparece \tan e um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx, porque du elimina esse fator e transforma a integral em uma em u. Também usarei a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x,
que vem de 1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x (identidade pitagórica para seno/cosseno/transcendentes).
Passo 3
Reescrevo o integrando destacando um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx:
Usando a substituição \,u=\tan x e \,du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du. O outro \operatorname{sec}^{2}x pode ser escrito como 1+\tan^{2}x, ou seja, 1+u^{2}. Assim a integral passa a ser