Questão 3. (20 pontos). Calcule as integrais a seguir:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x \cdot \operatorname{sec} ^{4} x\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{4}x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{4}x.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\frac{\pi}{4}.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Como o integrando tem um fator \operatorname{sec}^{4}x, podemos separar \operatorname{sec}^{4}x como \operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x e usar a substituição
u=\tan x,
pois então
du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Vou explicar: a substituição u=\tan x é conveniente quando aparece \tan e um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx, porque du elimina esse fator e transforma a integral em uma em u. Também usarei a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x,
que vem de 1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x (identidade pitagórica para seno/cosseno/transcendentes).

Passo 3

Reescrevo o integrando destacando um fator \operatorname{sec}^{2}x\,dx:
\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{4}x\,dx=\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Usando a substituição \,u=\tan x e \,du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, um dos fatores \operatorname{sec}^{2}x\,dx vira du. O outro \operatorname{sec}^{2}x pode ser escrito como 1+\tan^{2}x, ou seja, 1+u^{2}. Assim a integral passa a ser
\int_{x=0}^{x=\pi/4}\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int_{u=\tan 0}^{u=\tan(\pi/4)} u^{2}\,(1+u^{2})\,du.
Transformando os limites: \tan 0=0 e \tan(\pi/4)=1. Portanto
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{4}x\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(u^{2}+u^{4}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integro termo a termo. Vou usar a fórmula básica de potências:
\text{para } n\neq -1,\quad \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando para u^{2} e u^{4}:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3},\qquad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5}.
Logo a primitiva de u^{2}+u^{4} é
\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}.
Avalio essa primitiva nos limites de 0 a 1:
\left.\left(\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right)\right|_{0}^{1} = \left(\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{5}}{5}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{0^{5}}{5}\right) = \frac{1}{3}+\frac{1}{5}.

Passo 5

Faço a soma das frações:
\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}.
Portanto o valor da integral é \frac{8}{15}.

Resposta

\dfrac{8}{15}

Exercícios relacionados