Resolva os problemas a seguir envolvendo a equação de Cauchy-Euler
\left{ lx^2 y^prime prime+3 x y^prime=0 y(1)=0, y^prime(1)=4\right.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Cauchy–Euler
x^2y'' + 3x,y' = 0
com condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=4.
Vamos usar o método padrão de supor uma solução do tipo potencia y=x^m.

Passo 2

Substituímos y=x^m no lado homogêneo. Então
y = x^m, y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Logo
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + 3xl[m,x^m-1r] = 0
simplifica para
m(m-1)x^m + 3m,x^m = 0

Passo 3

Fatorando x^mneq0, obtemos a equação característica
m(m-1) + 3m = 0 Longrightarrow m^2 - m + 3m = 0 Longrightarrow m(m+2) = 0
As raízes são
m1 = 0, m2 = -2

Passo 4

A solução geral da equação é combinação linear das duas potências:
y(x) = C1,x^0 + C2,x^-2 = C1 + C2,x^-2

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = 0 + C2 cdot (-2),x^-3 = -2,C2,x^-3

Passo 6

Usamos y(1)=0 e y'(1)=4:
y(1)=C1 + C2 = 0 Longrightarrow C1 = -C2,
y'(1) = -2,C2 = 4 Longrightarrow C2 = -2,
logo C1 = -(-2) = 2.

Resposta

Substituindo os constantes, a solução particular é
boxedy(x) = 2 ;-; 2x^2,

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