Um tambor cilíndrico, de 4 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 15 minutos a água cair pela metade, determine a altura
da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?
Passo 1
O enunciado nos dá um tambor cilíndrico com as seguintes informações:
- Altura inicial do líquido:
. - Raio da base do cilindro:
. - O tambor está cheio inicialmente, então a altura inicial é
. - Foi feito um furo no fundo; após
minutos a altura da água ficou pela metade, isto é .
O que o problema pede:
- Determinar a altura
da água dentro do tambor em função do tempo . - Determinar em quanto tempo o tanque esvaziará totalmente.
Informações úteis que já extraímos:
- Área da seção transversal do tambor (constante) é
. - Não foi dada a área do furo nem o diâmetro dele, então será usada a informação “metade em 15 min” para determinar a constante que envolve a área do furo.
Passo 2
Montar a relação entre velocidade de saída, vazão e a variação de altura.
Explicação física e fórmulas usadas (passo a passo, sem pular):
- Quando o líquido sai por um pequeno orifício no fundo sob a altura
de coluna de água, a velocidade de saída é dada (pela regra conhecida de torneiras) por . Aqui: -
é a velocidade do jato que sai do furo (em , se estiver em ); -
é a aceleração da gravidade (valor típico ); -
é a altura instantânea da coluna de água sobre o furo (em m).
-
- Se a área do furo for
(em ), a vazão volumétrica que sai é . - O volume de água no tambor é
, onde é a área da seção do tambor (no nosso caso ). - A conservação de massa/volume dita que a taxa de variação do volume é negativa da vazão que sai:
Substituindo e obtemos - Agora definimos uma constante combinada que simplifica a equação. Seja
Observe o significado de : reúne a área do furo , a área do tanque e a gravidade . Como não foi dada, será determinada depois usando a informação de que cai para metade em minutos.
Com essa constante, a equação diferencial torna-se
Passo 3
Resolver a equação diferencial
por separação de variáveis (explicando cada etapa).
- Reescrevendo
, temos - Separe as variáveis colocando todos os termos com
em um lado e no outro: - Integrar ambos os lados. A primitiva de
em relação a é . Assim, onde é constante de integração. - Aplicar condição inicial
. Substituindo e : - Portanto a relação entre
e fica - Isolando
e elevando ao quadrado:
Essa é a solução geral com a constante
ainda não conhecida. Importante: essa expressão vale até o instante em que o parêntese zera (quando a raiz fica nula), depois disso o tanque está vazio.
Passo 4
Determinar a constante
usando o dado “em 15 minutos a água cairá pela metade”:
.
-
Substituir
(minutos) e na fórmula: -
Tirando raiz positiva (altura positiva), obtemos
-
Resolver para
: Manteremosmedido em minutos (porque o dado de 15 está em minutos) e em metros; assim obtido tem unidades compatíveis com minutos (é a constante experimental combinada). -
Simplificar a expressão da altura substituindo
. Observe que Logo a funçãotorna-se válida para(ainda a determinar). -
Se desejar um valor numérico para
:
Passo 5
Determinar o tempo total até esvaziar o tanque (instante em que
).
- A altura fica nula quando
, isto é quando Portanto - Substituir a expressão de
: - Simplificar racionalizando o denominador (opcional) para obter forma mais bonita:
- Valor numérico aproximado:
Resposta
Tempo para esvaziar: