Um tambor cilíndrico, de 4 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 15 minutos a água cair pela metade, determine a altura h da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?

Passo 1

O enunciado nos dá um tambor cilíndrico com as seguintes informações:
  • Altura inicial do líquido: \,4\\ \text{m}.
  • Raio da base do cilindro: \,1\\ \text{m}.
  • O tambor está cheio inicialmente, então a altura inicial é h(0)=4\\ \text{m}.
  • Foi feito um furo no fundo; após 15 minutos a altura da água ficou pela metade, isto é h(15\\ \text{min})=2\\ \text{m}.
O que o problema pede:
  1. Determinar a altura h da água dentro do tambor em função do tempo t.
  2. Determinar em quanto tempo o tanque esvaziará totalmente.
Informações úteis que já extraímos:
  • Área da seção transversal do tambor (constante) é \,A=\pi R^2=\pi\cdot1^2=\pi\\ \text{m}^2.
  • Não foi dada a área do furo nem o diâmetro dele, então será usada a informação “metade em 15 min” para determinar a constante que envolve a área do furo.

Passo 2

Montar a relação entre velocidade de saída, vazão e a variação de altura.
Explicação física e fórmulas usadas (passo a passo, sem pular):
  • Quando o líquido sai por um pequeno orifício no fundo sob a altura h de coluna de água, a velocidade de saída é dada (pela regra conhecida de torneiras) por \,v=\sqrt{2 g h}. Aqui:
    • \,v é a velocidade do jato que sai do furo (em \text{m/s}, se g estiver em \text{m/s}^2);
    • \,g é a aceleração da gravidade (valor típico \,g\approx9{,}8\\ \text{m/s}^2);
    • \,h é a altura instantânea da coluna de água sobre o furo (em m).
  • Se a área do furo for \,a (em \text{m}^2), a vazão volumétrica que sai é \,Q=a v = a\sqrt{2 g h}.
  • O volume de água no tambor é \,V(t)=A h(t), onde \,A é a área da seção do tambor (no nosso caso \,A=\pi).
  • A conservação de massa/volume dita que a taxa de variação do volume é negativa da vazão que sai: \frac{dV}{dt} = -Q.Substituindo V=A h e Q=a\sqrt{2 g h} obtemos A\frac{dh}{dt} = - a\sqrt{2 g h}.
  • Agora definimos uma constante combinada que simplifica a equação. Seja k := \frac{a}{A}\sqrt{2 g}.Observe o significado de k: reúne a área do furo a, a área do tanque A e a gravidade g. Como a não foi dada, k será determinada depois usando a informação de que h cai para metade em 15 minutos.
Com essa constante, a equação diferencial torna-se
\frac{dh}{dt} = - k \sqrt{h}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial \dfrac{dh}{dt} = -k\sqrt{h} por separação de variáveis (explicando cada etapa).
  • Reescrevendo \sqrt{h}=h^{1/2}, temos \frac{dh}{dt} = -k h^{1/2}.
  • Separe as variáveis colocando todos os termos com h em um lado e t no outro: \frac{dh}{h^{1/2}} = -k\, dt.
  • Integrar ambos os lados. A primitiva de h^{-1/2} em relação a h é 2 h^{1/2}. Assim, \int \frac{dh}{h^{1/2}} = \int -k\, dt \quad\Rightarrow\quad 2 h^{1/2} = -k t + C,onde C é constante de integração.
  • Aplicar condição inicial h(0)=4. Substituindo t=0 e h=4: 2\sqrt{4} = C \quad\Rightarrow\quad C = 2\cdot 2 = 4.
  • Portanto a relação entre h e t fica 2\sqrt{h} = -k t + 4.
  • Isolando \sqrt{h} e elevando ao quadrado: \sqrt{h} = 2 - \frac{k}{2} t,
h(t) = \left(2 - \frac{k}{2} t\right)^2.
Essa é a solução geral com a constante k ainda não conhecida. Importante: essa expressão vale até o instante em que o parêntese zera (quando a raiz fica nula), depois disso o tanque está vazio.

Passo 4

Determinar a constante k usando o dado “em 15 minutos a água cairá pela metade”: h(15)=2.
  • Substituir t=15 (minutos) e h(15)=2 na fórmula:
    2 = \left(2 - \frac{k}{2}\cdot 15\right)^2.
  • Tirando raiz positiva (altura positiva), obtemos
    \sqrt{2} = 2 - \frac{15k}{2}.
  • Resolver para k:
    \frac{15k}{2} = 2 - \sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2(2-\sqrt{2})}{15}.
    Manteremos t medido em minutos (porque o dado de 15 está em minutos) e h em metros; k assim obtido tem unidades compatíveis com minutos (é a constante experimental combinada).
  • Simplificar a expressão da altura substituindo k. Observe que
    \frac{k}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{15}.
    Logo a função h(t) torna-se
    h(t) = \left(2 - \frac{2-\sqrt{2}}{15}\,t\right)^2,
    válida para 0\le t\le t_{\text{vazio}} (ainda a determinar).
  • Se desejar um valor numérico para k:
    k \approx \frac{2(2-1{,}41421356)}{15} \approx 0{,}07810\\ \text{min}^{-1}.

Passo 5

Determinar o tempo total até esvaziar o tanque (instante em que h=0).
  • A altura fica nula quando \sqrt{h}=0, isto é quando 2 - \frac{k}{2} t_{\text{vazio}} = 0.Portanto t_{\text{vazio}} = \frac{4}{k}.
  • Substituir a expressão de k: t_{\text{vazio}} = \frac{4}{\dfrac{2(2-\sqrt{2})}{15}} = \frac{4\cdot 15}{2(2-\sqrt{2})} = \frac{60}{2(2-\sqrt{2})}.
  • Simplificar racionalizando o denominador (opcional) para obter forma mais bonita: t_{\text{vazio}} = \frac{30}{2-\sqrt{2}} = 15(2+\sqrt{2}).
  • Valor numérico aproximado: t_{\text{vazio}} \approx 15(2+1{,}41421356) \approx 51{,}213\\ \text{min}.

Resposta

h(t)=\left(2 - \dfrac{2-\sqrt{2}}{15}\,t\right)^{2} para 0\le t\le 15(2+\sqrt{2}) (com t em minutos e h em metros)\n
Tempo para esvaziar: t_{\text{vazio}}=15(2+\sqrt{2})\\ \text{min}\approx51{,}21\\ \text{min}

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