Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
ly^prime prime-x(x^2+1) y=0 y(0)=3, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências o problema de valor inicial
y'' - xl(x^2+1r)y = 0, y(0)=3,;y'(0)=2,
obtendo a expansão de y(x) até termo de ordem 5. Vamos centrar a série em x=0 e usar o fato de que as condições iniciais determinam a0 e a1.

Passo 2

Suponha
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Então
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2,
e
xl(x^2+1r)y(x) =sumn=0^inftyan x^n+3+sumn=0^inftyan x^n+1
Substituindo na equação diferencial, obtemos
sumn=2^inftyn(n-1)an x^n-2 -sumn=0^inftyan x^n+3 -sumn=0^inftyan x^n+1 =0

Passo 3

Para alinhar as potências de x, trocamos índices:
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2x^k -sumk=3^inftyak-3x^k -sumk=1^inftyak-1x^k =0
Igualando o coeficiente de x^k a zero, vem a relação de recorrência válida para k>=0:
(k+2)(k+1)ak+2- ak-3,&k>=3, 0,&k<3 - ak-1,&k>=1, 0,&k=0 =0

Passo 4

As condições iniciais dão
a0=y(0)=3, a1=y'(0)=2
Para k=0,1,2,3,4,5 calculamos ak+2:
  • k=0: (2)(1)a2 -0-0=0 implies a2=0.
  • k=1: (3)(2)a3 -0 -a0=0 implies 6a3-3=0 implies a3=tfrac12.
  • k=2: (4)(3)a4 -0 -a1=0 implies 12a4-2=0 implies a4=tfrac16.
  • k=3: (5)(4)a5 -a0 -a2=0 implies 20a5-3=0 implies a5=tfrac320.
  • (Não precisamos de a6 e adiante para termos até ordem 5.)

Passo 5

Reúnindo os coeficientes até x^5, a solução em série fica
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+cdots =3+2x+0cdot x^2+tfrac12x^3+tfrac16x^4+tfrac320x^5+ O(x^6)

Resposta

y(x)=3+2x+tfrac12x^3+tfrac16x^4+tfrac320x^5+ O(x^6)

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