Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências o problema de valor inicial
obtendo a expansão de
até termo de ordem
. Vamos centrar a série em
e usar o fato de que as condições iniciais determinam
e
.
Passo 2
Suponha
Então
e
Substituindo na equação diferencial, obtemos
Passo 3
Para alinhar as potências de
, trocamos índices:
Igualando o coeficiente de
a zero, vem a relação de recorrência válida para
:
Passo 4
As condições iniciais dão
Para
k=0,1,2,3,4,5 calculamos
ak+2 :
-
:k=0 (2)(1)a2 -0-0=0 .implies a2=0 -
:k=1 (3)(2)a3 -0 -a0=0 implies 6a3-3=0 .implies a3=tfrac12 -
:k=2 (4)(3)a4 -0 -a1=0 implies 12a4-2=0 .implies a4=tfrac16 -
:k=3 (5)(4)a5 -a0 -a2=0 implies 20a5-3=0 .implies a5=tfrac320 - (Não precisamos de
e adiante para termos até ordem 5.)a6
Passo 5
Reúnindo os coeficientes até
x^5 , a solução em série fica