Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
ly^prime prime-2 x y^prime+5 y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 2x,y' + 5y = 0
com as condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=3, usando o método das séries de potências em torno de x=0 e encontrando os termos até a ordem x^5.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Então
y'(x) = sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n,
y''(x) = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n,
e
-2x,y'(x) = -2 sumn=0^infty (n+1),an+1,x^n+1 = -2 sumn=0^infty n,an,x^n
(onde no último passo reindexamos e usamos que o termo n=0 é zero). Substituindo na equação diferencial e igualando o coeficiente de x^n a zero, obtemos
(n+2)(n+1),an+2 ;+;(-2n+5),an ;=;0,
isto é, a recorrência
boxedan+2 ;=;2n-5(n+2)(n+1),an

Passo 3

Pelas condições iniciais:
y(0)=a0=-1, y'(0)=a1=3
Agora usamos a recorrência para obter os primeiros coeficientes:
Para n=0:
a2 = 2cdot0 - 52cdot1,a0 = -52,(-1) = tfrac52
Para n=1:
a3 = 2cdot1 - 53cdot2,a1 = -36,(3) = -tfrac32

Passo 4

Continuando até n=3 para achar a4 e a5:
Para n=2:
a4 = 2cdot2 - 54cdot3,a2 = -112,l(tfrac52r) = -tfrac524
Para n=3:
a5 = 2cdot3 - 55cdot4,a3 = 120,l(-tfrac32r) = -tfrac340

Resposta

y(x) = -1 ;+;3,x;+;52,x^2;-;32,x^3;-;524,x^4;-;340,x^5 ;+;cdots

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