Verifique que
partial^3 fpartial x partial y partial z=partial^3 fpartial z partial y partial x
para f(x, y, z)=z e^x y+y z^3 x^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que os terceiros derivados mistos
partial^3 fpartial x partial y partial z
e
partial^3 fpartial z partial y partial x
são iguais para
f(x,y,z)=z,e^xy+y,z^3x^2.
O conteúdo é o teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas parciais mistas e o cálculo direto dessas derivadas.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de f em relação a x. Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
partial fpartial x = z,e^xycdot y + y,z^3cdot 2x = y,z,e^xy + 2x,y,z^3
Logo
partial fpartial x = y,z,e^xy + 2x,y,z^3

Passo 3

Agora derivamos partial fpartial x em relação a y. Como
partial fpartial x = y,z,e^xy + 2x,y,z^3
temos
partial^2 fpartial y partial x = partialpartial yl(y,z,e^xyr) + partialpartial yl(2x,y,z^3r) = z,e^xy + y,z,e^xycdot x + 2x,z^3 = z,e^xy(1+xy) + 2x,z^3

Passo 4

Em seguida, derivamos esse resultado em relação a z:
partial^2 fpartial y partial x = z,e^xy(1+xy) + 2x,z^3 Longrightarrow partial^3 fpartial z partial y partial x = e^xy(1+xy) + 2xcdot 3z^2 = e^xy(1+xy) + 6x,z^2

Passo 5

Agora fazemos na ordem inversa. Primeiro
partial fpartial z. Como
f = z,e^xy + y,z^3x^2,
temos
partial fpartial z = e^xy + y,x^2cdot 3z^2 = e^xy + 3x^2y,z^2

Passo 6

Derivando esse resultado em relação a y, obtemos
partial^2 fpartial y partial z = partialpartial yl(e^xyr) + partialpartial yl(3x^2y,z^2r) = x,e^xy + 3x^2,z^2

Passo 7

Finalmente, derivamos em relação a x:
partial^2 fpartial y partial z = x,e^xy + 3x^2,z^2 Longrightarrow partial^3 fpartial x partial y partial z = e^xy + x,y,e^xy + 6x,z^2 = e^xy(1+xy) + 6x,z^2

Passo 8

Comparando os dois resultados, vemos que
partial^3 fpartial z partial y partial x = e^xy(1+xy) + 6x,z^2 = partial^3 fpartial x partial y partial z

Resposta

Os dois terceiros derivados mistos coincidem e valem
e^xy(1+xy) + 6x,z^2,
confirmando a igualdade pedida.

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