Verifique que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que os terceiros derivados mistos
e
são iguais para
.
O conteúdo é o teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas parciais mistas e o cálculo direto dessas derivadas.
e
são iguais para
O conteúdo é o teorema de Clairaut sobre igualdade de derivadas parciais mistas e o cálculo direto dessas derivadas.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada de
em relação a
. Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
Logo
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
. Como
temos
Passo 4
Em seguida, derivamos esse resultado em relação a
:
Passo 5
Agora fazemos na ordem inversa. Primeiro
. Como
,
temos
temos
Passo 6
Derivando esse resultado em relação a
, obtemos
Passo 7
Finalmente, derivamos em relação a
:
Passo 8
Comparando os dois resultados, vemos que
Resposta
Os dois terceiros derivados mistos coincidem e valem
,
confirmando a igualdade pedida.
confirmando a igualdade pedida.