a) Aplique a regra da cadeia para
, onde
e
são funções de
para obter a regra de derivação do produto de três funções de uma variável. b) Obtenha a regra em a) usando cálculo de uma varíavel.
Passo 1
O enunciado define
onde ,
e
são funções de uma única variável
.
Em a) queremos usar a regra da cadeia multivariável para obter a derivada de um produto de três funções;
em b) queremos rederivar o mesmo resultado usando apenas cálculo de variável única (agrupando em produtos de dois fatores).
onde
Em a) queremos usar a regra da cadeia multivariável para obter a derivada de um produto de três funções;
em b) queremos rederivar o mesmo resultado usando apenas cálculo de variável única (agrupando em produtos de dois fatores).
Passo 2
Para a) aplicamos a regra da cadeia em várias variáveis. Definimos a função auxiliar
e escrevemos
Então calculamos as derivadas parciais de
:
,
e
.
Pela regra da cadeia multivariável,
Pela regra da cadeia multivariável,
isto é, trocando
,
,
:
Passo 3
Para b) usamos cálculo de variável única: primeiro vemos
,
então
.
Aplicando a regra do produto a :
então
Aplicando a regra do produto a
Agora derivamos
como produto de dois fatores:
Substituindo em
obtemos de novo