a) Aplique a regra da cadeia para w=x y z, onde x, y e z são funções de t para obter a regra de derivação do produto de três funções de uma variável. b) Obtenha a regra em a) usando cálculo de uma varíavel.

Passo 1

O enunciado define
w = x,y,z
onde x=x(t), y=y(t) e z=z(t) são funções de uma única variável t.
Em a) queremos usar a regra da cadeia multivariável para obter a derivada de um produto de três funções;
em b) queremos rederivar o mesmo resultado usando apenas cálculo de variável única (agrupando em produtos de dois fatores).

Passo 2

Para a) aplicamos a regra da cadeia em várias variáveis. Definimos a função auxiliar
h(u,v,w) = u,v,w
e escrevemos
w(t) = hl(x(t),,y(t),,z(t)r)
Então calculamos as derivadas parciais de h:
partial hpartial u = v,w,
partial hpartial v = u,w e
partial hpartial w = u,v.
Pela regra da cadeia multivariável,
dwdt = partial hpartial u,dudt + partial hpartial v,dvdt + partial hpartial w,dwdt,
isto é, trocando uto x, vto y, wto z:
dwdt = (y,z),dxdt + (x,z),dydt + (x,y),dzdt

Passo 3

Para b) usamos cálculo de variável única: primeiro vemos
,p(t)=y(t),z(t),
então
,w(t)=x(t),p(t).
Aplicando a regra do produto a w = x,p:
dwdt = dxdt,p + x,dpdt
Agora derivamos p=y,z como produto de dois fatores:
dpdt = dydt,z + y,dzdt
Substituindo em dw/dt obtemos de novo
dwdt = dxdt,(y,z) + xl(dydt,z + y,dzdtr) = dxdt,y,z + x,dydt,z + x,y,dzdt

Resposta

dwdt = dxdt,y,z + x,dydt,z + x,y,dzdt

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