Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
l2 y^prime prime-3 y^prime+2 x^3 y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2,y'' - 3,y' + 2,x^3,y = 0
com condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=5, usando séries de potências e encontrando os coeficientes até o termo de ordem x^5. Vamos assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
determinar uma relação de recorrência para an e, em seguida, usar as condições iniciais para achar a0,a1,dots,a5.

Passo 2

Substituindo
y(x)=sumn=0^infty an x^n, y'(x)=sumn=1^infty n,an x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an x^n-2
na equação 2y''-3y'+2x^3y=0, obtemos
2sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2 ;-;3sumn=1^infty n,an x^n-1 ;+;2sumn=0^infty an x^n+3 =0
Reindexando para escrever tudo como summ=0^infty(cdots)x^m=0, dá
2summ=0^infty(m+2)(m+1)am+2x^m -3summ=0^infty(m+1)am+1x^m +2summ=3^infty am-3x^m =0
Para cada m, o coeficiente de x^m deve ser zero. Para m>=3 surge a relação de recorrência
2(m+2)(m+1)am+2-3(m+1)am+1+2,am-3=0 Longrightarrow am+2 =3(m+1)am+1-2,am-32(m+2)(m+1)
Para m=0,1,2 o termo am-3 não existe (é zero), então usamos apenas os dois primeiros somatórios.

Passo 3

Usando as condições iniciais a0=y(0)=-1 e a1=y'(0)=5, e aplicando a relação para m=0,1,2:
Para m=0:
2cdot2cdot1,a2-3cdot1,a1=0 Longrightarrow 4,a2=3,a1 Longrightarrow a2=3cdot54=154
Para m=1:
2cdot3cdot2,a3-3cdot2,a2=0 Longrightarrow 12,a3=6,a2 Longrightarrow a3=a22=158
Para m=2:
2cdot4cdot3,a4-3cdot3,a3=0 Longrightarrow 24,a4=9,a3 Longrightarrow a4=924a3=38cdot158=4564

Passo 4

Agora para m=3 entrará o termo com am-3=a0:
2cdot5cdot4,a5-3cdot4,a4+2,a0=0 Longrightarrow 40,a5=12,a4-2,a0 =12cdot4564-2cdot(-1) =54064+12864 =66864
Longrightarrow a5=66864cdot40=6682560=167640

Passo 5

Reunindo os coeficientes de a0 a a5, a solução em série até x^5 é
y(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5 + cdots = -1 + 5x + 154x^2 + 158x^3 + 4564x^4 + 167640x^5 + cdots

Resposta

y(x) = -1 + 5x + 154x^2 + 158x^3 + 4564x^4 + 167640x^5 + O(x^6)

Exercícios relacionados