Suponhamos v=f(r, s, t)=r cos (s t)-e^s sen(r t) e que r, s e t são funções de x. Determine a expressão para d vd x.

Passo 1

O enunciado define
v = f(r,s,t) = rcos(s t) ;-; e^ssin(r t)
com r=r(x), s=s(x) e t=t(x). O conteúdo é a regra da cadeia para funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de f em relação a r, s e t e das derivadas dr/dx, ds/dx e dt/dx.

Passo 2

Pela regra da cadeia multivariada,
dvdx = partial fpartial r,drdx + partial fpartial s,dsdx + partial fpartial t,dtdx

Passo 3

Calculamos partial f/partial r. Como
f(r,s,t)=rcos(st)-e^ssin(rt),
derivando em relação a r temos
partial fpartial r = cos(st) - e^s,ddrl(sin(rt)r) = cos(st) - e^sl(tcos(rt)r)

Passo 4

Calculamos partial f/partial s. Do primeiro termo vem
ddsl(rcos(st)r) = rl(-sin(st)r),t = -r,tsin(st),
e do segundo termo vem
ddsl(-e^ssin(rt)r) = -e^ssin(rt)
Logo,
partial fpartial s = -r,tsin(st) ;-; e^ssin(rt)

Passo 5

Calculamos partial f/partial t. Do primeiro termo vem
ddtl(rcos(st)r) = rl(-sin(st)r),s = -r,ssin(st),
e do segundo termo vem
ddtl(-e^ssin(rt)r) = -e^sl(rcos(rt)r)
Logo,
partial fpartial t = -r,ssin(st) ;-; e^srcos(rt)

Passo 6

Substituindo as derivadas parciais em dvdx:
dvdx = l(cos(st) - e^stcos(rt)r)drdx + l(-r,tsin(st) - e^ssin(rt)r)dsdx + l(-r,ssin(st) - e^srcos(rt)r)dtdx

Resposta

dvdx = l(cos(st) - e^stcos(rt)r)drdx - l(r,tsin(st) + e^ssin(rt)r)dsdx - l(r,ssin(st) + e^srcos(rt)r)dtdx

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