Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
ly^prime prime-x y^prime+cos (x) y=0 y(0)=-1, y^prime(0)=-1

Passo 1

O problema é resolver, por séries de potências centradas em x=0, a EDO
y''-x,y'+cos(x),y=0
com condições iniciais y(0)=-1 e y'(0)=-1. Vamos supor
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar a0,a1,dots,a5.

Passo 2

A partir de y(x)=sumn=0^infty anx^n temos
y'(x)=sumn=1^infty n,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),anx^n-2,
e usamos a expansão
cos(x)=sumk=0^infty(-1)^k(2k)!x^2k

Passo 3

Substituindo em y''-x,y'+cos(x),y=0 e igualando coeficientes de x^m, obtemos a recorrência
(m+2)(m+1),am+2-m,am+sumk=0^lfloor m/2rfloor(-1)^k(2k)!,am-2k=0 (m>=0)

Passo 4

Das condições iniciais vem
a0=y(0)=-1, a1=y'(0)=-1
Para m=0:
2cdot1,a2+ a0=0Longrightarrow a2=tfrac12
Para m=1:
3cdot2,a3-1cdot a1+underbrace(-1)^00!a1=a1=0 Longrightarrow a3=0

Passo 5

Para m=2 ( lfloor2/2rfloor=1):
4cdot3,a4-2,a2+l(a2-tfrac(-1)^12!a0r)=0 Longrightarrow a4=0
Para m=3 ( lfloor3/2rfloor=1):
5cdot4,a5-3,a3+l(a3-tfrac(-1)^12!a1r)=0 Longrightarrow20,a5+tfrac12=0 Longrightarrow a5=-tfrac140

Passo 6

Reunindo até a ordem x^5, a solução em série é
y(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4+a5x^5+cdots =-1 - x + tfrac12x^2 + 0cdot x^3 + 0cdot x^4 - tfrac140x^5 + O(x^6)

Resposta

y(x)=-1 - x + 12x^2 - 140x^5 + O(x^6)

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