Resolva os problemas de valor inicial:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. A equação que temos é:
y^prime + (1 - 2x)y = x e^-x, y(0) = 2
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
y^prime + P(x)y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
P(x) = 1 - 2x e Q(x) = x e^-x

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( mu(x)), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Vamos calcular a integral de P(x):
integral (1 - 2x) dx = x - x^2 + C
Como o fator integrante é multiplicado por e elevado à integral, podemos ignorar a constante C porque ela se cancela na multiplicação final. Então,
mu(x) = e^x - x^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^x - x^2 y^prime + e^x - x^2 (1 - 2x) y = e^x - x^2 cdot x e^-x
Simplificando o lado direito:
e^x - x^2 cdot x e^-x = x e^-x^2

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y. Ou seja:
ddx ( e^x - x^2 y ) = x e^-x^2

Passo 6

Para encontrar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( e^x - x^2 y ) dx = integral x e^-x^2 dx
Isso simplifica para:
e^x - x^2 y = -12 e^-x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver para y:
y = e^-x + x^2 ( -12 e^-x^2 + C )
Simplificando:
y = -12 e^-x + C e^-x + x^2

Passo 8

Aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar C. Substituindo x = 0:
2 = -12 e^0 + C e^0 + 0 Rightarrow 2 = -12 + C
Resolvendo para C:
C = 2 + 12 = 52

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y = -12 e^-x + 52 e^-x + x^2

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