Resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Como o fator integrante é multiplicado por
elevado à integral, podemos ignorar a constante
porque ela se cancela na multiplicação final. Então,
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: