Resolva os problemas de valor inicial:
.

Passo 1

O problema é um EDO linear de primeira ordem com condição inicial. A equação é y' + x^4 y = x^4 e^4x^5/5 e temos y(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) usando P(x)=x^4:
mu(x)=e^integral x^4,dx=e^x^5/5

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x) para escrever o lado esquerdo como derivada de um produto:
e^x^5/5y' + x^4e^x^5/5y = ddxl(e^x^5/5yr)
O lado direito fica:
x^4e^4x^5/5cdot e^x^5/5=x^4e^x^5

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^x^5/5y),dx = integral x^4e^x^5,dx
No lado direito usamos a substituição t=x^5, dt=5x^4dx, obtendo
integral x^4e^x^5,dx = 15e^x^5 + C
Logo
e^x^5/5y = 15e^x^5 + C

Passo 5

Isolando y e aplicando a condição inicial y(0)=1:
y = e^-x^5/5l(tfrac15e^x^5 + Cr) = tfrac15e^4x^5/5 + C e^-x^5/5,
em x=0 temos 1 = tfrac15 + C, logo C=4/5.

Resposta

y(x)=tfrac15e^4x^5/5+tfrac45e^-x^5/5.

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