Resolva os problemas de valor inicial:
y^prime-cos t cdot y=t e^t^2+sin t, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear de primeira ordem:
y' - cos t,y = t,e^t^2 + sin t, y(0)=2
O conteúdo necessário é o método do fator integrante para equações lineares.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integral -cos t,dtr) = exp(-sin t)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^-sin ty' - cos t,e^-sin ty = t,e^t^2 + sin t,e^-sin t
No lado esquerdo reconhecemos a derivada do produto:
ddtl(y,e^-sin tr) = t,e^t^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^-sin t = integral t,e^t^2,dt + C = tfrac12,e^t^2 + C
Isolando y, obtemos
y = e^sin tl(tfrac12,e^t^2 + Cr)

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Em t=0:
2 = y(0) = e^0l(tfrac12,e^0 + Cr) = tfrac12 + C,
logo C = tfrac32.

Passo 6

Substituindo C na solução geral, fica
y(t) = e^sin tl(tfrac12,e^t^2 + tfrac32r) = tfrac12,e^t^2+sin t + tfrac32,e^sin t

Resposta

y(t) = 12,e^t^2+sin t + 32,e^sin t

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