Sabendo que integrala^b x^k d x=b^k+1-a^k+1k+1, encontre o valor de cada uma das integrais a seguir, no intervalo indicado.
integral-1^1(x^3-2 x)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^1l(x^3-2xr)^2dx
O conteúdo aqui é integral de polinômio. Para resolver, vamos expandir o quadrado, usar a regra de potência
integral x^kdx = x^,k+1k+1,
e depois avaliar nos limites -1 e 1.

Passo 2

Expandimos o integrando:
l(x^3-2xr)^2 = x^6 - 4x^4 +4x^2

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando a regra de potência:
integral x^6dx = x^77, integral (-4x^4)dx = -4cdotx^55 = -4x^55, integral 4x^2dx = 4cdotx^33 = 4x^33
Logo uma antiderivada é
F(x) = x^77 ;-;4x^55;+;4x^33

Passo 4

Avaliaremos F(x) de -1 a 1:
F(1) = 17 - 45 + 43, F(-1) = -17 + 45 - 43
A integral vale
F(1)-F(-1) = l(tfrac17-tfrac45+tfrac43r) -l(-tfrac17+tfrac45-tfrac43r)

Passo 5

Somando e simplificando:
F(1)-F(-1) = 17+17 ;-;45-45;+;43+43 = 27 - 85 + 83
Colocando sobre o mesmo denominador 105:
27=30105, -85=-168105, 83=280105,
então
30 -168 +280105 = 142105

Resposta

integral-1^1l(x^3-2xr)^2dx = 142105

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