Resolva os problemas de valor inicial:
(3 x^2 y+6 x y+y^3) d x+3(x^2+y^2) d y=0 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
l(3x^2y+6xy+y^3r),dx ;+;3l(x^2+y^2r),dy=0
com condição inicial y(0)=1.
Conteúdo: reconhecimento de equação de forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, teste de exatidão e uso de fator integrante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^2y+6xy+y^3, N(x,y)=3l(x^2+y^2r)
Calculamos
partial Mpartial y =3x^2+6x+3y^2, partial Npartial x =6x
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, não é exata. Porém
partial Mpartial y-partial Npartial xN =(3x^2+6x+3y^2)-6x3(x^2+y^2) =3x^2+3y^23(x^2+y^2)=1,
que depende só de x. Logo há um fator integrante mu(x).

Passo 3

Como
partial M/partial y-partial N/partial xN=1,
temos
mu(x)=expl(integral 1,dxr)=e^x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^x, obtendo
e^x(3x^2y+6xy+y^3),dx ;+; 3e^x(x^2+y^2),dy =0,
que agora é exata. Definimos widetilde M=e^xM e widetilde N=e^xN.

Passo 5

Procuramos psi(x,y) tal que
partial psipartial x =widetilde M =e^x(3x^2y+6xy+y^3)
Integramos em x, tratando y como constante:
psi(x,y) =integral e^x(3x^2y+6xy+y^3),dx+h(y)
Fazendo a integral por partes ou tabelas, chega-se a
psi(x,y) =3x^2y,e^x+y^3e^x+h(y)
Então
partial psipartial y =3x^2e^x+3y^2e^x+h'(y) stackrel!=widetilde N =3(x^2+y^2)e^x,
logo h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y)=e^x(3x^2y+y^3)=C
Usando y(0)=1:
e^0(3cdot0^2cdot1+1^3)=1Longrightarrow C=1

Resposta

e^xl(3x^2y+y^3r)=1

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