(0,5) Calcule \int_{\gamma} x^{2}+i y^{2} d s onde o \gamma é a circunferência x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}(x^{2} + i\,y^{2})\,ds
onde \gamma é a circunferência x^{2}+y^{2}=4.
O conteúdo envolvido é integral de linha com elemento de comprimento ds. Para resolver, vamos parametrizar \gamma e expressar ds em função do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 2 por
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=2\sin t,\quad t\in[0,2\pi].
Calculamos
\frac{dx}{dt}=-2\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=2\cos t
e
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}\,dt=2\,dt.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
x^{2}+i\,y^{2}=4\cos^{2}t + i\,4\sin^{2}t =4\bigl(\cos^{2}t + i\,\sin^{2}t\bigr),
então
\int_{\gamma}(x^{2}+i\,y^{2})\,ds =\int_{0}^{2\pi}4\bigl(\cos^{2}t + i\,\sin^{2}t\bigr)\cdot 2\,dt =8\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos^{2}t + i\,\sin^{2}t\bigr)\,dt.

Passo 4

Usamos que
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\,dt=\pi.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos^{2}t + i\,\sin^{2}t\bigr)\,dt =\pi + i\,\pi =\pi(1+i).

Resposta

8\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos^{2}t + i\,\sin^{2}t\bigr)\,dt =8\pi\,(1+i).

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