Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
d yd x-2 y=e^2 t, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de primeira ordem com condição inicial:
Temos a equação dydt - 2y = e^2t e y(0)=2, ou seja, conteúdo de equações diferenciais lineares de 1ª ordem e usaremos fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dydt + p(t)y = g(t). Aqui p(t)=-2 e g(t)=e^2t. O fator integrante é
mu(t)=e^integral p(t),dt=e^-2t

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto:
e^-2tdydt-2e^-2ty = e^-2te^2t=1 Longrightarrow ddtl(e^-2tyr)=1

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^-2ty = integral 1,dt = t + C,
e isolamos y:
y = e^2t(t + C)

Passo 5

Por fim, aplicamos a condição inicial y(0)=2:
2 = y(0) = e^0(0 + C) = C,

Passo 6

portanto C=2 e a solução fica
y(t) = e^2t(t + 2)

Resposta

y(t) = e^2t(t + 2)

Exercícios relacionados