Prove.
(1)

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de uma função irracional do tipo integral raizx^2-a^2x^4,dx. Vamos usar substituição trigonométrica, já que aparece raizx^2-a^2, e no final voltar para a variável x.

Passo 2

Fazemos a substituição x = asectheta. Então temos:
raizx^2 - a^2 = raiza^2sec^2theta - a^2 = atantheta,
dx = asecthetatantheta,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral raizx^2 - a^2x^4,dx = integral atantheta(asectheta)^4cdot asecthetatantheta,dtheta
Vamos simplificar passo a passo:
atanthetacdot asecthetatanthetaa^4sec^4theta = a^2secthetatan^2thetaa^4sec^4theta = 1a^2tan^2thetasec^-3theta
Como tan^2theta = sec^2theta - 1 e sec^-3theta = cos^3theta, isso vira
1a^2((sec^2theta - 1)cos^3theta) = 1a^2(costheta - cos^3theta)

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral (costheta - cos^3theta),dtheta = integralcostheta,dtheta - integralcos^3theta,dtheta
Sabemos que integralcostheta,dtheta = sintheta. Para integralcos^3theta,dtheta, usamos cos^3theta = costheta(1-sin^2theta):
integralcos^3theta,dtheta = integralcostheta,dtheta - integralcosthetasin^2theta,dtheta = sintheta - sin^3theta3
Logo,
integral(costheta - cos^3theta),dtheta = sintheta - l(sintheta - sin^3theta3r) = sin^3theta3
Não esquecer o fator 1/a^2, então a integral vale sin^3theta/(3a^2) + C.

Passo 5

Voltamos para x usando sintheta = raizx^2-a^2/x. Assim:
sin^3theta3a^2 = 13a^2l(raizx^2-a^2xr)^3 = (x^2 - a^2)^3/23a^2,x^3

Passo 6

Portanto, concluímos que
integral raizx^2-a^2x^4,dx = (x^2 - a^2)^3/23a^2,x^3 + C

Resposta

integral raizx^2-a^2x^4,dx = (x^2 - a^2)^3/23a^2,x^3 + C

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