Resolva os problemas de valor inicial abaixo.
l(1 / x+2 y^x) d x+(2 y x^2-cos y) d y=0 y(1)=pi,

Passo 1

Temos a equação diferencial na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, com M(x,y)=1/x + 2y^x e N(x,y)=2yx^2 - cos y, sujeita a y(1)=pi. O que precisamos aqui é testar se a equação é exata e, se não for, buscar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y=2x y^x-1
e a de N em relação a x:
partial Npartial x=4yx

Passo 3

Como partial M/partial y =2x y^x-1 difere de partial N/partial x=4yx, a equação não é exata.

Passo 4

Em seguida tentamos fatores integrantes simples: função de x sola, de y sola, e de tipo x^m y^n. Em todos os casos o teste de exatidão após multiplicar não resulta em igualdade de derivadas parciais.

Passo 5

Concluímos que não existe um fator integrante elementar óbvio que torne a equação exata, de modo que não obtemos solução em forma fechada usando funções elementares.

Resposta

A equação não é exata e não possui fator integrante simples, logo não admite solução explícita em termos de funções elementares.

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