Obter as séries de Taylor em torno de e os intervalos de convergência de .
Passo 1
A questão pede as séries de Taylor de quatro funções em torno de um ponto genérico e os respectivos intervalos (ou raios) de convergência. O conteúdo envolve definição de série de Taylor, cálculo de derivadas e teste de convergência.
Passo 2
Para montar qualquer série de Taylor, usamos a fórmula geral:
O raio de convergência pode ser obtido pelo teste da razão ou pela distância até a singularidade mais próxima de .
Passo 3
Para :
Todas as derivadas são , logo .
A série fica
Pelo teste da razão,
logo o raio de convergência é R=infty.
Passo 4
Para f(x)=sin(x):
As derivadas ciclam entre sin e cos com sinais alternados, de modo que
f^(n)(x0)insin(x0),,cos(x0),,-sin(x0),,-cos(x0)
A série é
$$\sin(x)=\sum_{n=0}{\infty}\frac{f{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
=\sin(x_{0})+\cos(x_{0})(x-x_{0})-\tfrac{\sin(x_{0})}{2!}(x-x_{0}){2}-\tfrac{\cos(x_{0})}{3!}(x-x_{0}){3}+\cdots.$$
Como os coeficientes têm fatorial no denominador, o teste da razão dá sin(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n =sin(x0)+cos(x0)(x-x0)-tfracsin(x0)2!(x-x0)^2-tfraccos(x0)3!(x-x0)^3+cdots.
Passo 5
Para f(x)=cos(x):
Analogamente a sin(x), as derivadas ciclam e a série é
cos(x)=cos(x0)-sin(x0)(x-x0)-tfraccos(x0)2!(x-x0)^2+tfracsin(x0)3!(x-x0)^3+cdots,
com raio de convergência R=infty.
Passo 6
Para f(x)=ln(x) (supondo x0>0):
As derivadas são f^(n)(x)=(-1)^n-1(n-1)!/x^n. Então
f^(n)(x0)=(-1)^n-1(n-1)!x0^n,
e a série fica ln(x)=ln(x0)+sumn=1^infty(-1)^n-1n(x-x0)^nx0^n
O único ponto singular é x=0, a distância até x0 é x0, logo o raio de convergência é R=x0, isto é, converge para |x-x0|.
Resposta
Séries e intervalos de convergência:
e^x=e^x0sumn=0^infty(x-x0)^nn!, R=infty
sin(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n, R=infty,
com coeficientes ciclando em sin(x0),cos(x0),-sin(x0),-cos(x0).
cos(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n, R=infty,
com ciclo de deriva-das semelhantes ao caso de sin(x).