Obter as séries de Taylor em torno de x0 e os intervalos de convergência de e^x, sin (x), cos (x), ln (x).

Passo 1

A questão pede as séries de Taylor de quatro funções em torno de um ponto genérico x0 e os respectivos intervalos (ou raios) de convergência. O conteúdo envolve definição de série de Taylor, cálculo de derivadas e teste de convergência.

Passo 2

Para montar qualquer série de Taylor, usamos a fórmula geral:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n
O raio de convergência R pode ser obtido pelo teste da razão ou pela distância até a singularidade mais próxima de f.

Passo 3

Para f(x)=e^x:
Todas as derivadas são f^(n)(x)=e^x, logo f^(n)(x0)=e^x0.
A série fica
e^x=sumn=0^inftye^x0n!(x-x0)^n=e^x0sumn=0^infty(x-x0)^nn!
Pelo teste da razão,
limntoinfty|(x-x0)^n+1/(n+1)!(x-x0)^n/n!|=limntoinfty|x-x0|n+1=0<1,
logo o raio de convergência é R=infty.

Passo 4

Para f(x)=sin(x):
As derivadas ciclam entre sin e cos com sinais alternados, de modo que
f^(n)(x0)insin(x0),,cos(x0),,-sin(x0),,-cos(x0)
A série é
$$\sin(x)=\sum_{n=0}{\infty}\frac{f{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
=\sin(x_{0})+\cos(x_{0})(x-x_{0})-\tfrac{\sin(x_{0})}{2!}(x-x_{0}){2}-\tfrac{\cos(x_{0})}{3!}(x-x_{0}){3}+\cdots.$$
Como os coeficientes têm fatorial no denominador, o teste da razão dá sin(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n =sin(x0)+cos(x0)(x-x0)-tfracsin(x0)2!(x-x0)^2-tfraccos(x0)3!(x-x0)^3+cdots.

Passo 5

Para f(x)=cos(x):
Analogamente a sin(x), as derivadas ciclam e a série é
cos(x)=cos(x0)-sin(x0)(x-x0)-tfraccos(x0)2!(x-x0)^2+tfracsin(x0)3!(x-x0)^3+cdots,
com raio de convergência R=infty.

Passo 6

Para f(x)=ln(x) (supondo x0>0):
As derivadas são f^(n)(x)=(-1)^n-1(n-1)!/x^n. Então
f^(n)(x0)=(-1)^n-1(n-1)!x0^n,
e a série fica
ln(x)=ln(x0)+sumn=1^infty(-1)^n-1n(x-x0)^nx0^n
O único ponto singular é x=0, a distância até x0 é x0, logo o raio de convergência é R=x0, isto é, converge para |x-x0|.

Resposta

Séries e intervalos de convergência:
  1. e^x=e^x0sumn=0^infty(x-x0)^nn!, R=infty
  2. sin(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n, R=infty,
    com coeficientes ciclando em sin(x0),cos(x0),-sin(x0),-cos(x0).
  3. cos(x)=sumn=0^inftyf^(n)(x0)n!(x-x0)^n, R=infty,
    com ciclo de deriva-das semelhantes ao caso de sin(x).
  4. ln(x)=ln(x0)+sumn=1^infty(-1)^n-1n(x-x0)^nx0^n, |x-x0|

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