Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
\frac{d^{n} x}{d t^{n}}=t x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{n} x}{d t^{n}} = t x^{2}
e pede duas coisas: (1) determinar a ordem da equação; (2) determinar se a equação é linear ou não. Aqui t é a variável independente, x é a função desconhecida x(t) e n é a ordem do derivado indicado (assume-se n\in\mathbb{N}). Nada mais é pedido.

Passo 2

Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de x que aparece na equação. Por exemplo, se aparecem até \dfrac{d^{3}x}{dt^{3}}, a ordem é 3.
Aplicando isso à equação dada, o maior derivado presente é \dfrac{d^{n}x}{dt^{n}}. Portanto a ordem é \,n.

Passo 3

Definição de linearidade (explicação mastigada): uma equação diferencial é linear em x se pode ser escrita na forma
a_{n}(t)\,x^{(n)} + a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)}+\cdots+a_{1}(t)\,x' + a_{0}(t)\,x = g(t),
onde cada coeficiente a_{k}(t) depende apenas da variável independente t (ou é constante) e g(t) também depende apenas de t. Em outras palavras, todas as aparições de x e de suas derivadas são apenas multiplicadas por funções de t e aparecem com expoente 1; não são permitidos termos como (x)^{2}, x\cdot x', \sin(x), etc.

Passo 4

Verificação de linearidade para esta equação: reescrevendo em forma standard,
\frac{d^{n} x}{d t^{n}} - t\,x^{2} = 0.
Aqui existe o termo t\,x^{2}. Mesmo que t dependa só de t, o fator x^{2} é uma potência de x diferente de 1; isso viola imediatamente a condição de linearidade (aparece x elevado a 2, não apenas a 1).
Outra maneira de ver: numa equação linear a superposição vale (se x_{1} e x_{2} são soluções, então c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2} também é solução). Aqui isso falha — por exemplo, no caso simples n=1 a equação seria \dot{x}=t x^{2}. Se x_{1} e x_{2} satisfazem isso, para x=x_{1}+x_{2} a igualdade não se mantém porque (x_{1}+x_{2})^{2}\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2} em geral (aparecem termos cruzados 2x_{1}x_{2}). Isso demonstra claramente a não linearidade.

Passo 5

Conclusão didática e rápida: a ordem vem do maior derivado, e a presença de x^{2} torna a equação não linear — memorizando: potências, produtos entre x e suas derivadas, funções não lineares de x são sinais de não linearidade.

Resposta

Ordem: n
Linearidade: não linear

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