Determine a ordem e a linearidade de cada equação abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) determinar a ordem da equação; (2) determinar se a equação é linear ou não. Aqui
é a variável independente,
é a função desconhecida
e
é a ordem do derivado indicado (assume-se
). Nada mais é pedido.
Passo 2
Definição de ordem: a ordem de uma equação diferencial é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se aparecem até
, a ordem é
.
Aplicando isso à equação dada, o maior derivado presente é
. Portanto a ordem é
.
Passo 3
Definição de linearidade (explicação mastigada): uma equação diferencial é linear em
se pode ser escrita na forma
onde cada coeficiente
depende apenas da variável independente
(ou é constante) e
também depende apenas de
. Em outras palavras, todas as aparições de
e de suas derivadas são apenas multiplicadas por funções de
e aparecem com expoente
; não são permitidos termos como
,
,
, etc.
Passo 4
Verificação de linearidade para esta equação: reescrevendo em forma standard,
Aqui existe o termo
. Mesmo que
dependa só de
, o fator
é uma potência de
diferente de 1; isso viola imediatamente a condição de linearidade (aparece
elevado a
, não apenas a
).
Outra maneira de ver: numa equação linear a superposição vale (se
e
são soluções, então
também é solução). Aqui isso falha — por exemplo, no caso simples
a equação seria
. Se
e
satisfazem isso, para
a igualdade não se mantém porque
em geral (aparecem termos cruzados
). Isso demonstra claramente a não linearidade.
Passo 5
Conclusão didática e rápida: a ordem vem do maior derivado, e a presença de
torna a equação não linear — memorizando: potências, produtos entre
e suas derivadas, funções não lineares de
são sinais de não linearidade.
Resposta
Ordem:
Linearidade: não linear
Linearidade: não linear