Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}(t)=-y(t)+t^{3}, y(-1)=2

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Equação diferencial com condição inicial: y^{\prime}(t)=-y(t)+t^{3}.
  • Condição inicial: y(-1)=2.
    O que se quer é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t no domínio adequado e que verifica y(-1)=2.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Somando y(t) aos dois lados:
y^{\prime}(t)+y(t)=t^{3}.
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão y'+p(t)y=q(t):
  • p(t)=1,
  • q(t)=t^{3}.
Agora a técnica que vamos usar é o fator integrante. Explico a ideia: para uma equação linear y'+p(t)y=q(t) define-se o fator integrante
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) a igualdade do lado esquerdo se transforma na derivada do produto \mu(t)y(t), ou seja:
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
Isto acontece porque, por derivação do produto,
\frac{d}{dt}(\mu y)=\mu y'+\mu' y
e \mu'=\mu p por construção de \mu. Então \mu y'+\mu' y=\mu(y'+py).

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como p(t)=1,
\mu(t)=\exp\!\left(\int 1\,dt\right)=\exp(t)=e^{t}.
Multiplicando a equação padrão por e^{t} obtemos
e^{t}y^{\prime}(t)+e^{t}y(t)=e^{t}t^{3}.
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}y(t)\big)=e^{t}t^{3}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{t}y(t)\big)\,dt=\int e^{t}t^{3}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá simplesmente e^{t}y(t). Portanto precisamos calcular a integral
I(t)=\int e^{t}t^{3}\,dt.

Passo 4

Calcular I(t)=\int e^{t}t^{3}\,dt por partes repetidas. Lembro da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=t^{3} (polinômio, que fica mais simples ao diferenciar) e dv=e^{t}dt (que integra facilmente).
1ª aplicação:
I=t^{3}e^{t}-\int e^{t}\cdot 3t^{2}\,dt = e^{t}t^{3}-3\int e^{t}t^{2}\,dt.
Chamo J=\int e^{t}t^{2}\,dt. Aplicando por partes em J com u=t^{2}, dv=e^{t}dt:
J=t^{2}e^{t}-\int e^{t}\cdot 2t\,dt = e^{t}t^{2}-2\int e^{t}t\,dt.
Chamo K=\int e^{t}t\,dt. Aplicando por partes em K com u=t, dv=e^{t}dt:
K=te^{t}-\int e^{t}\,dt = e^{t}t - e^{t}+C.
Assim
K=e^{t}(t-1)+C.
Substituindo em J:
J=e^{t}t^{2}-2e^{t}(t-1)+C = e^{t}(t^{2}-2t+2)+C.
Agora em I:
I=e^{t}t^{3}-3J = e^{t}t^{3}-3e^{t}(t^{2}-2t+2)+C.
Fatorando e^{t} e simplificando:
I=e^{t}\big(t^{3}-3t^{2}+6t-6\big)+C.

Passo 5

Voltando à integral do passo 3, temos
e^{t}y(t)=I(t)=e^{t}\big(t^{3}-3t^{2}+6t-6\big)+C,
onde C é constante de integração. Dividindo por e^{t},
y(t)=t^{3}-3t^{2}+6t-6 + C e^{-t}.
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Determinar C usando a condição inicial y(-1)=2. Substituindo t=-1 em y(t):
y(-1) = (-1)^{3}-3(-1)^{2}+6(-1)-6 + C e^{-(-1)}.
Calculemos passo a passo os termos polinomiais:
(-1)^{3}=-1,\qquad -3(-1)^{2}=-3,\qquad 6(-1)=-6,\qquad -6=-6.
Somando esses quatro termos:
-1-3-6-6=-16.
Logo
y(-1) = -16 + C e^{1}.
Como y(-1)=2, obtemos
-16 + C e = 2 \quad\Longrightarrow\quad C e = 18 \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{18}{e}.

Resposta

y(t)=t^{3}-3t^{2}+6t-6 + \dfrac{18}{e}\,e^{-t}

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