Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Equação diferencial com condição inicial:
. - Condição inicial:
.
O que se quer é encontrar a funçãoque satisfaz a equação diferencial para todo no domínio adequado e que verifica .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Somando
aos dois lados:
Aqui identificamos as funções que aparecem na forma padrão
:
-
, -
.
Agora a técnica que vamos usar é o fator integrante. Explico a ideia: para uma equação linear
define-se o fator integrante
Multiplicando a equação por
a igualdade do lado esquerdo se transforma na derivada do produto
, ou seja:
Isto acontece porque, por derivação do produto,
e
por construção de
. Então
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso. Como
,
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Pelo argumento do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo dá simplesmente
. Portanto precisamos calcular a integral
Passo 4
Calcular
por partes repetidas. Lembro da fórmula de integração por partes:
Escolho
(polinômio, que fica mais simples ao diferenciar) e
(que integra facilmente).
1ª aplicação:
1ª aplicação:
Chamo
. Aplicando por partes em
com
,
:
Chamo
. Aplicando por partes em
com
,
:
Assim
Substituindo em
:
Agora em
:
Fatorando
e simplificando:
Passo 5
Voltando à integral do passo 3, temos
onde
é constante de integração. Dividindo por
,
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Determinar
usando a condição inicial
. Substituindo
em
:
Calculemos passo a passo os termos polinomiais:
Somando esses quatro termos:
Logo
Como
, obtemos