Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{t}+4 \\\ y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Temos a equação diferencial com condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} y''-2y'+y = t e^{t} + 4,\\[4pt] y(0)=1,\quad y'(0)=1. \end{array}\right.
  • O que o enunciado pede: encontrar a solução y(t) da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais dadas.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • A parte não homogênea é t e^{t}+4.
    • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=1.]

Passo 2

Recordando e aplicando as fórmulas de transformada de Laplace que vamos usar (explicando cada uma):
  • Definição linear e fórmulas básicas:
    • A transformada de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
    • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformadas de derivadas (essas são essenciais para transformar a EDO em equação algébrica).
    • \displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0).
      Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é a condição inicial.
    • \displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0).
      Novamente usamos as condições iniciais y(0) e y'(0).
  • Transformadas que vamos precisar para o lado direito:
    • \displaystyle \mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s-a)^{2}}. (Derivado da regra \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}.)
    • \displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, então \mathcal{L}\{4\}=\frac{4}{s}.
Agora aplico a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}:
  • Transformando o lado esquerdo termo a termo: \mathcal{L}\{y''\} - 2\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} = \big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big) -2\big(sY(s)-y(0)\big) + Y(s).Substituindo y(0)=1 e y'(0)=1: = s^{2}Y(s)-s-1 -2sY(s)+2 + Y(s).
Agrupando os termos em Y(s) e os termos numéricos:
\text{lado esquerdo} = (s^{2}-2s+1)Y(s) +(-s-1+2).
Observando que s^{2}-2s+1=(s-1)^{2} e -s-1+2=-(s-1), obtemos
\text{lado esquerdo} = (s-1)^{2}Y(s) - (s-1).
  • Transformando o lado direito: \mathcal{L}\{t e^{t}+4\} = \mathcal{L}\{t e^{t}\} + \mathcal{L}\{4\} = \frac{1}{(s-1)^{2}} + \frac{4}{s}.

Passo 3

Agora montamos a equação algébrica em Y(s) e resolvemos para Y(s).
A igualdade das transformadas dá:
(s-1)^{2}Y(s) - (s-1) = \frac{1}{(s-1)^{2}} + \frac{4}{s}.
Isolando Y(s):
(s-1)^{2}Y(s) = (s-1) + \frac{1}{(s-1)^{2}} + \frac{4}{s}.
Dividindo por (s-1)^{2}:
Y(s) = \frac{s-1}{(s-1)^{2}} + \frac{1}{(s-1)^{4}} + \frac{4}{s (s-1)^{2}}.
Simplificando o primeiro termo \dfrac{s-1}{(s-1)^{2}}=\dfrac{1}{s-1}, obtemos:
Y(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{(s-1)^{4}} + \frac{4}{s (s-1)^{2}}.

Passo 4

Precisamos calcular a transformada inversa termo a termo. Primeiro, decomponho a fração [\dfrac{4}{s (s-1)^{2}}) em frações parciais para inverter facilmente.
Proponho a decomposição:
\frac{4}{s (s-1)^{2}} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{(s-1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por s (s-1)^{2}:
4 = A (s-1)^{2} + B s (s-1) + C s.
Expanda e compare coeficientes. Desenvolvendo:
A(s^{2}-2s+1) + B(s^{2}-s) + C s = (A+B)s^{2} + (-2A - B + C)s + A.
Igualando aos coeficientes do polinômio constante 4 (ou seja, 0\cdot s^{2} + 0\cdot s + 4), obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 0,\\[4pt] A = 4. \end{cases}
Da terceira equação A=4\]. Então \(B=-A=-4 e da segunda C = A = 4.
Portanto
\frac{4}{s (s-1)^{2}} = \frac{4}{s} - \frac{4}{s-1} + \frac{4}{(s-1)^{2}}.
Substituindo isso em Y(s):
Y(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{(s-1)^{4}} + \left(\frac{4}{s} - \frac{4}{s-1} + \frac{4}{(s-1)^{2}}\right).
Agrupando termos semelhantes:
Y(s) = \frac{4}{s} + \left(\frac{1}{s-1} - \frac{4}{s-1}\right) + \frac{4}{(s-1)^{2}} + \frac{1}{(s-1)^{4}}.
Y(s) = \frac{4}{s} - \frac{3}{s-1} + \frac{4}{(s-1)^{2}} + \frac{1}{(s-1)^{4}}.
Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo, lembrando as fórmulas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\} = e^{at}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\right\} = t e^{at}.
  • Mais geral: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}\right\} = t^{n} e^{at}. Aqui, para \dfrac{1}{(s-1)^{4}} usamos n=3 (pois 3! = 6), então \dfrac{1}{(s-1)^{4}} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{6}{(s-1)^{4}} e sua inversa é \dfrac{1}{6} t^{3} e^{t}.
Invertendo termo a termo:
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{s}\right\} = 4.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{3}{s-1}\right\} = -3 e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{(s-1)^{2}}\right\} = 4 t e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)^{4}}\right\} = \frac{1}{6} t^{3} e^{t}.
Somando tudo:
y(t) = 4 - 3 e^{t} + 4 t e^{t} + \frac{1}{6} t^{3} e^{t}.]

Passo 5

Pequeno comentário de verificação e interpretação (útil na prova): a solução encontrada é
y(t) = 4 + e^{t}\!\left(-3 + 4t + \frac{t^{3}}{6}\right).
Pode-se conferir rapidamente as condições iniciais: em t=0, o termo com e^{t} vale -3, então y(0)=4-3=1 (confere). Derivando e avaliando em 0 também dá y'(0)=1 (verificação direta possível se necessário). Isso confirma consistência com y(0)=1 e y'(0)=1.

Resposta

y(t)=4 - 3 e^{t} + 4 t e^{t} + \dfrac{1}{6} t^{3} e^{t}

Exercícios relacionados