Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=t e^{t}+4 \\\ y(0)=1 \quad y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Temos a equação diferencial com condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} y''-2y'+y = t e^{t} + 4,\\[4pt] y(0)=1,\quad y'(0)=1. \end{array}\right.
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(t) da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais dadas.
Informações relevantes fornecidas:
A parte não homogênea é t e^{t}+4.
As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=1.]
Passo 2
Recordando e aplicando as fórmulas de transformada de Laplace que vamos usar (explicando cada uma):
Definição linear e fórmulas básicas:
A transformada de Laplace de uma função f(t) é \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Transformadas de derivadas (essas são essenciais para transformar a EDO em equação algébrica).
\displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0).
Aqui Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é a condição inicial.
\displaystyle \mathcal{L}\{y''(t)\} = s^{2}Y(s) - s\,y(0) - y'(0).
Novamente usamos as condições iniciais y(0) e y'(0).
Transformadas que vamos precisar para o lado direito:
\displaystyle \mathcal{L}\{t e^{at}\} = \frac{1}{(s-a)^{2}}. (Derivado da regra \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\}=\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}.)
\displaystyle \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, então \mathcal{L}\{4\}=\frac{4}{s}.
Agora aplico a transformada de Laplace à equação diferencial inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}:
Transformando o lado esquerdo termo a termo:\mathcal{L}\{y''\} - 2\mathcal{L}\{y'\} + \mathcal{L}\{y\} = \big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big) -2\big(sY(s)-y(0)\big) + Y(s).Substituindo y(0)=1 e y'(0)=1:= s^{2}Y(s)-s-1 -2sY(s)+2 + Y(s).
Agrupando os termos em Y(s) e os termos numéricos:
Precisamos calcular a transformada inversa termo a termo. Primeiro, decomponho a fração [\dfrac{4}{s (s-1)^{2}}) em frações parciais para inverter facilmente.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\right\} = t e^{at}.
Mais geral: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}\right\} = t^{n} e^{at}. Aqui, para \dfrac{1}{(s-1)^{4}} usamos n=3 (pois 3! = 6), então \dfrac{1}{(s-1)^{4}} = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{6}{(s-1)^{4}} e sua inversa é \dfrac{1}{6} t^{3} e^{t}.
Pode-se conferir rapidamente as condições iniciais: em t=0, o termo com e^{t} vale -3, então y(0)=4-3=1 (confere). Derivando e avaliando em 0 também dá y'(0)=1 (verificação direta possível se necessário). Isso confirma consistência com y(0)=1 e y'(0)=1.