Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t} \\\ y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''+4y = t^{2}+3e^{t},\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=2. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a solução explícita y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Informações dadas (resumindo):
  • Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • Termo não homogêneo t^{2}+3e^{t}.
  • Condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2.]

Passo 2

Rápida aula sobre a transformada de Laplace (essencial para aplicar o método):
  • Definição: para uma função f(t) (para t\ge0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa que age como parâmetro. Aqui usamos s como a variável do domínio transformado.
  • Propriedade importante (derivadas): se \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e as condições iniciais são conhecidas, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Isso é fundamental: transforma a EDO em uma equação algébrica em Y(s).
  • Transformadas padrão úteis:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad(n\\ \text{inteiro}\ge0),
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • Teorema inverso: uma vez obtido Y(s) decompondo em frações simples, aplicamos a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} termo a termo para obter y(t).

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=0,\\ y'(0)=2,
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-2.
Agora a transformada do lado direito:
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}},\qquad \mathcal{L}\{3e^{t}\}=3\cdot\frac{1}{s-1}=\frac{3}{s-1}.
Então a equação transformada fica
\bigl(s^{2}Y(s)-2\bigr)+4Y(s)=\frac{2}{s^{3}}+\frac{3}{s-1}.

Passo 4

Reorganizo para isolar Y(s):
(s^{2}+4)Y(s)-2=\frac{2}{s^{3}}+\frac{3}{s-1},
portanto
(s^{2}+4)Y(s)=2+\frac{2}{s^{3}}+\frac{3}{s-1}.
Logo
Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}+\frac{2}{s^{3}(s^{2}+4)}+\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}.
A estratégia agora é decompor as frações racionais em termos cuja transformada inversa conhecemos (frações simples do tipo 1/s, 1/s^{n}, s/(s^{2}+4), 1/(s^{2}+4), 1/(s-1), etc.).

Passo 5

Decompondo a fração \dfrac{2}{s^{3}(s^{2}+4)}. Proponho
\frac{2}{s^{3}(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{Ds+E}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por s^{3}(s^{2}+4)
2 = A s^{2}(s^{2}+4) + B s (s^{2}+4) + C (s^{2}+4) + (Ds+E) s^{3}.
Expando e agrupando termos em potências de s:
2=(A+D) s^{4} + (B+E) s^{3} + (4A+C) s^{2} + 4B s + 4C.
Comparando coeficientes com o polinômio constante 2 (ou seja, coeficientes de s^{4},s^{3},s^{2},s devem ser zero, e o termo constante deve ser 2), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+D=0,\\[2pt] B+E=0,\\[2pt] 4A+C=0,\\[2pt] 4B=0,\\[2pt] 4C=2. \end{cases}
Resolvendo:
4B=0\Rightarrow B=0.
4C=2\Rightarrow C=\tfrac{1}{2}.
4A+C=0\Rightarrow 4A+\tfrac{1}{2}=0\Rightarrow A=-\tfrac{1}{8}.
A+D=0\Rightarrow D=\tfrac{1}{8}.
B+E=0\Rightarrow E=0.
Portanto a decomposição é
\frac{2}{s^{3}(s^{2}+4)}=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{3}}+\frac{1}{8}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.]

Passo 6

Agora decomponho \dfrac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}\). Proponho \[\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)}=\frac{As+B}{s^{2}+4}+\frac{C}{s-1}.
Multiplicando por (s-1)(s^{2}+4) obtemos
3=(As+B)(s-1)+C(s^{2}+4).
Expando:
3=A s^{2}+(B-A)s -B + C s^{2}+4C = (A+C)s^{2}+(B-A)s+(-B+4C).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+C=0,\\[2pt] B-A=0,\\[2pt] -B+4C=3. \end{cases}
Da segunda equação B=A\]. Da primeira \(C=-A. Substituindo na terceira:
-B+4C = -A + 4(-A) = -5A = 3 \Rightarrow A=-\tfrac{3}{5}.
Logo B=A=-\tfrac{3}{5} e C=-A=\tfrac{3}{5}. Assim
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)} = \frac{-\tfrac{3}{5}s-\tfrac{3}{5}}{s^{2}+4} + \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}.]

Passo 7

Junto tudo e agrupo termos semelhantes em Y(s). Lembre-se que
Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}+\left(-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{3}}+\frac{1}{8}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}\right) +\left(\frac{-\tfrac{3}{5}s-\tfrac{3}{5}}{s^{2}+4} + \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1}\right).
Agrupando os termos sobre \dfrac{s}{s^{2}+4} e \dfrac{1}{s^{2}+4}, e os demais:
  • Coeficiente de \dfrac{s}{s^{2}+4}: \dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{8}-\dfrac{24}{40}=\dfrac{5-24}{40}=-\dfrac{19}{40}.
  • Coeficiente de \dfrac{1}{s^{2}+4}: 2 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{10-3}{5}=\dfrac{7}{5}.
Portanto
Y(s)=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s^{3}}+\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{s-1} -\frac{19}{40}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}+\frac{7}{5}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 8

Aplicar a transformada inversa termo a termo usando as transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1. Logo -\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{s} corresponde a -\dfrac{1}{8}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2} (porque \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}). Então \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s^{3}} corresponde a \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{2}}{2}=\dfrac{t^{2}}{4}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\}=e^{t}. Então \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{s-1} corresponde a \dfrac{3}{5}e^{t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t). Então -\dfrac{19}{40}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+4} corresponde a -\dfrac{19}{40}\cos(2t).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t). Então \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2t)=\dfrac{7}{10}\sin(2t).

Passo 9

Juntando todas as parcelas no domínio do tempo obtemos a solução
y(t)=-\frac{1}{8}+\frac{t^{2}}{4}+\frac{3}{5}e^{t}-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{7}{10}\sin(2t).
É sempre bom conferir rapidamente as condições iniciais:
  • Em t=0: y(0)=-\tfrac{1}{8}+0+\tfrac{3}{5}-\tfrac{19}{40}+0=0. (Condição satisfeita.)
  • Derivando e avaliando em t=0 y'(0)=2. (Checagem satisfatória; não preciso mostrar todo o detalhe aqui, mas isto confirma que não houve erro aritmético.)

Resposta

y(t)=-\frac{1}{8}+\frac{t^{2}}{4}+\frac{3}{5}e^{t}-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{7}{10}\sin(2t)

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