Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t} \\\ y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.
O que é pedido: encontrar a solução explícita y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Informações dadas (resumindo):
Equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
Termo não homogêneo t^{2}+3e^{t}.
Condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=2.]
Passo 2
Rápida aula sobre a transformada de Laplace (essencial para aplicar o método):
Definição: para uma função f(t) (para t\ge0), a transformada de Laplace é
Teorema inverso: uma vez obtido Y(s) decompondo em frações simples, aplicamos a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} termo a termo para obter y(t).
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=0,\\ y'(0)=2,
A estratégia agora é decompor as frações racionais em termos cuja transformada inversa conhecemos (frações simples do tipo 1/s, 1/s^{n}, s/(s^{2}+4), 1/(s^{2}+4), 1/(s-1), etc.).
Passo 5
Decompondo a fração \dfrac{2}{s^{3}(s^{2}+4)}. Proponho
Comparando coeficientes com o polinômio constante 2 (ou seja, coeficientes de s^{4},s^{3},s^{2},s devem ser zero, e o termo constante deve ser 2), obtemos o sistema:
Aplicar a transformada inversa termo a termo usando as transformadas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1. Logo -\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{s} corresponde a -\dfrac{1}{8}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2} (porque \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}). Então \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s^{3}} corresponde a \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{2}}{2}=\dfrac{t^{2}}{4}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\}=e^{t}. Então \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{s-1} corresponde a \dfrac{3}{5}e^{t}.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2t). Então -\dfrac{19}{40}\cdot\dfrac{s}{s^{2}+4} corresponde a -\dfrac{19}{40}\cos(2t).
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{2}\sin(2t). Então \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+4} corresponde a \dfrac{7}{5}\cdot\dfrac{1}{2}\sin(2t)=\dfrac{7}{10}\sin(2t).
Passo 9
Juntando todas as parcelas no domínio do tempo obtemos a solução
É sempre bom conferir rapidamente as condições iniciais:
Em t=0: y(0)=-\tfrac{1}{8}+0+\tfrac{3}{5}-\tfrac{19}{40}+0=0. (Condição satisfeita.)
Derivando e avaliando em t=0 dá y'(0)=2. (Checagem satisfatória; não preciso mostrar todo o detalhe aqui, mas isto confirma que não houve erro aritmético.)