Resolva os problemas de valor inicial abaixo utilizando a transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e pede a solução usando transformada de Laplace. Vou listar explicitamente o que temos e o que se pede.
- Equação diferencial dada:
- Condições iniciais:
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Breve apresentação das ferramentas que vou usar (com explicação didática):
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa do domínio transformado. Vou escrever
.
- Propriedades importantes (que usarei):
- Linearidade:
. - Derivadas: se
e , então
- Deslocamento exponencial (shift):
. Em particular,
- Multiplicação por
: . Isto é útil para termos no transformado com denominador ao quadrado.
- Linearidade:
Explicando em palavras: a transformada troca derivadas por multiplicações por
(com correção pelas condições iniciais), o que transforma a EDO em uma equação algébrica em
. Depois resolvemos para
e aplicamos a transformada inversa termo a termo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira. Defino
. Uso as fórmulas para derivadas e as condições iniciais
.
Tomando
em ambos os lados:
Substituindo as expressões:
Como
e
, isso fica
Passo 4
Calcular a transformada da força
. Uso a propriedade do deslocamento exponencial com
e
:
Multiplicando por
,
Passo 5
Volto à equação algébrica em
:
Isolo
:
Observo que o polinômio do lado esquerdo tem a forma
Denoto
. Assim
(Escrevi a soma dividida por
e simplifiquei; isto é,
.)
Passo 6
Agora vou inverter termo a termo. Primeiro analiso o termo
. Escrevo
Uso as transformadas conhecidas:
-
é a transformada de , porque . -
corresponde a , pois , logo .
Portanto a transformada inversa do primeiro pedaço é
Passo 7
Agora inverto o segundo termo
. Para isso uso a propriedade
.
Considere
. Então
Calculo a derivada (faço a conta explicitamente): com
temos
, então
Portanto
Isto mostra que
Logo o inverso do termo
é simplesmente
.
Passo 8
Reunindo tudo (somando as inversas de cada termo), obtenho a solução
:
Posso escrever de forma mais compacta fatorando
:
Se quiser conferir rapidinho as condições iniciais: para
tem-se
, e derivando
e avaliando em
obtém-se
, então as condições iniciais são satisfeitas (confirmação rápida de consistência).