Resolva os problemas de valor inicial:
(d) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2 t} \delta(t-1), \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y''-2y'+y=e^{2t}\,\delta(t-1),\\[4pt] y(0)=0,\; y'(0)=0. \end{cases}
Pede-se encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace como ferramenta (aqui eu explico o que é e as fórmulas que vou usar).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
sempre que essa integral exista. Se denotarmos F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s), as fórmulas úteis que usarei são:
\mathcal{L}\{f'(t)\}(s)=sF(s)-f(0), \qquad \mathcal{L}\{f''(t)\}(s)=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0).
Também preciso da transformada da delta de Dirac e da propriedade de deslocamento no tempo:
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-as}, \qquad \mathcal{L}\{g(t)\,\delta(t-a)\}(s)=g(a)\,e^{-as}.
E, para inverter, a propriedade de retardamento:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\}(t)=g(t-a)\,u(t-a),
onde g=\mathcal{L}^{-1}\{G\} e u(t-a) é a função degrau unitário deslocada. Outra transformada padrão que usarei é
\mathcal{L}\{t e^{at}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Vou aplicar a transformada de Laplace à equação, resolver algebricamente em s e depois inverter.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), e usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, obtemos para o lado esquerdo:
\mathcal{L}\{y''-2y'+y\}(s)=(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)) -2(sY(s)-y(0)) + Y(s).
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
(s^{2}-2s+1)Y(s).

Passo 4

Agora a transformada do lado direito. Como há um produto com \delta(t-1), uso a propriedade da delta:
\mathcal{L}\{e^{2t}\delta(t-1)\}(s)=e^{2\cdot 1}\,e^{-1\cdot s}=e^{2}e^{-s}.
Portanto a equação transformada fica
(s^{2}-2s+1)Y(s)=e^{2}e^{-s}.

Passo 5

Resolvo algebricamente para Y(s). Note que s^{2}-2s+1=(s-1)^{2}. Então
Y(s)=\frac{e^{2}e^{-s}}{(s-1)^{2}}.

Passo 6

Agora inverto a transformada. Primeiro observo a transformada padrão mencionada antes:
\mathcal{L}\{t e^{t}\}(s)=\frac{1}{(s-1)^{2}}.
Assim a parte sem o fator exponencial retardador tem G(s)=\dfrac{1}{(s-1)^{2}} cuja inversa é g(t)=t e^{t}. Pela propriedade de retardamento (deslocamento no domínio s),
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-s}G(s)\}(t)=g(t-1)\,u(t-1).
Multiplicando por e^{2} (constante multiplicativa) obtemos
y(t)=e^{2}\,g(t-1)\,u(t-1)=e^{2}\,(t-1)e^{\,t-1}\,u(t-1).

Passo 7

Simplifico a expressão obtida:
y(t)=e^{2}e^{t-1}(t-1)u(t-1)=e^{t+1}(t-1)\,u(t-1).
Portanto y(t)=0 para t<1 e y(t)=e^{t+1}(t-1) para t\ge 1. (Isto faz sentido fisicamente: com condições iniciais nulas a resposta só aparece após o impulso em t=1.)

Resposta

y(t)=e^{t+1}(t-1)\,u(t-1)

Exercícios relacionados