Resolva os problemas de valor inicial:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Pede-se encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace como ferramenta (aqui eu explico o que é e as fórmulas que vou usar).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
sempre que essa integral exista. Se denotarmos
, as fórmulas úteis que usarei são:
Também preciso da transformada da delta de Dirac e da propriedade de deslocamento no tempo:
E, para inverter, a propriedade de retardamento:
onde
e
é a função degrau unitário deslocada. Outra transformada padrão que usarei é
Vou aplicar a transformada de Laplace à equação, resolver algebricamente em
e depois inverter.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando
, e usando as condições iniciais
e
, obtemos para o lado esquerdo:
Substituindo
e
, isso simplifica para
Passo 4
Agora a transformada do lado direito. Como há um produto com
, uso a propriedade da delta:
Portanto a equação transformada fica
Passo 5
Resolvo algebricamente para
. Note que
. Então
Passo 6
Agora inverto a transformada. Primeiro observo a transformada padrão mencionada antes:
Assim a parte sem o fator exponencial retardador tem
cuja inversa é
. Pela propriedade de retardamento (deslocamento no domínio
),
Multiplicando por
(constante multiplicativa) obtemos
Passo 7
Simplifico a expressão obtida:
Portanto
para
e
para
. (Isto faz sentido fisicamente: com condições iniciais nulas a resposta só aparece após o impulso em
.)