Resolva os problemas de valor inicial:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial com a força dada pela delta de Dirac centrada em
e as condições iniciais fornecidas.]
Passo 2
Escolha do método (curta explicação): aqui é natural usar a transformada de Laplace porque
- transforma derivadas em polinômios em
multiplicando a transformada , usando as condições iniciais de forma direta; - transforma
em , o que simplifica muito a solução algébrica em ; - depois aplicamos a regra do deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento) para voltar ao domínio do tempo.
Vou aplicar Laplace passo a passo.
Passo 3
Lembrete das fórmulas que vou usar (com explicação do que cada símbolo significa):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
(para ):
a transformada será denotada por
.
- Transformada de derivadas (se
):
Aqui
e
são as condições iniciais.
- Transformada da delta de Dirac deslocada:
- Propriedade de deslocamento no tempo (segunda regra do deslocamento): se
então
onde
é a função degrau unitário em
. Isso será usado para voltar do domínio
ao domínio
.
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada. Denotando
e usando
:
Substituindo as fórmulas:
Como
e
, isto simplifica para
Logo isolamos
:
Passo 5
Preparar a inversão de Laplace. Primeiro escrevemos o denominador completando o quadrado:
Portanto
Agora identificamos a transformada inversa da parte sem o fator exponencial: sabemos que
Assim a função cujo Laplace é
é
(válida para
). Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo (segunda regra do deslocamento) para o fator
com
, obtemos
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (intuição): a solução é zero para
(antes do impulso não há excitação e as condições iniciais eram nulas). No instante
a delta fornece um impulso que inicia a resposta livre do sistema, e para
a solução segue a resposta do sistema homogêneo com forma amortecida oscilatória
, ativada no tempo
. Isso condiz com a forma encontrada via Laplace.